Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Đề số 2)

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Điều kiện: $\{\begin{array}{l}2x>0\\ 9-x>0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ x<9\end{array}\iff 0<x<9$.

b) Ta có ${\log }_{\frac{e}{3}}2x<{\log }_{\frac{e}{3}}\left(9-x\right)$$\iff 2x>9-x$.</>

c) ${\log }_{\frac{e}{3}}2x<{\log }_{\frac{e}{3}}\left(9-x\right)$$\iff 2x>9-x$$\iff x>3$.</>

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $\left(3;9\right)$.

d) Tập các nghiệm nguyên của bất phương trình là $\left\{4;5;6;7;8\right\}$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Vì

$SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC$.

b) Ta có $\{\begin{array}{l}CD\perp AD\\ CD\perp SA\left(\mathrm{do}SA\perp \left(ABCD\right)\right)\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)$.

Vì $\{\begin{array}{l}CD\perp \left(SAD\right)\\ SD\subset \left(SAD\right)\end{array}\Rightarrow CD\perp SD$ hay tam giác $SCD$ vuông tại $D$.

c) Ta có $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA(\mathrm{do}SA\perp \left(ABCD\right))\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Ta có $\{\begin{array}{l}AH\perp SB\\ AH\perp BC\left(\mathrm{do}BC\perp \left(SAB\right)\right)\end{array}\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC$(1).

Tương tự $\{\begin{array}{l}AK\perp SD\\ AK\perp CD\left(\mathrm{do}CD\perp \left(SAD\right)\right)\end{array}\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow AK\perp SC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $SC\perp \left(AHK\right)$.

d) Vì $SC\perp \left(AHK\right)$ mà $HK\subset \left(AHK\right)$ nên $HK\perp SC$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

$P=x^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{1}{6}}=x^{\frac{1}{2}}$. Suy ra $m=1;n=2$. Do đó $m+n=3$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,5

$I=2{\log }_3\left[{\log }_3\left(3a\right)\right]+{\log }_{\frac{1}{4}}{b}^2$$=2{\log }_3\left[1+{\log }_{3}a\right]+2{\log }_{2^{-2}}b$$=2{\log }_3\left[1+2\right]-{\log }_{2}b$$=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 45

Vì $SA\perp \left(ABC\right)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$.

Do đó $\left(SB,\left(ABC\right)\right)=\left(SB,BA\right)=\widehat{SBA}$.

Mà tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{SBA}=45^{\circ }$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Gọi

$O=AC\cap BD$, $H$ là trung điểm $CD$. Trong $\left(SOH\right)$, kẻ $OI\perp SH$.

Có $\{\begin{array}{l}CD\perp SO\\ CD\perp OH\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SOH\right)\Rightarrow CD\perp OI$.

Mà $OI\perp SH$ nên $OI\perp \left(SCD\right)$ $\Rightarrow d\left(O,\left(SCD\right)\right)=OI$.

Vì O là trung điểm BD nên $d\left(B,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right)=2OI=\frac{2SO.OH}{\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}}$.

Có $AD=AC\sin 45^{\circ }=\sqrt{6}$, $OH=\frac{\sqrt{6}}{2}$ $\Rightarrow d\left(B,\left(SCD\right)\right)=2$.

Hướng dẫn giải

Ta có ${\log }_{a^2}\left(a{b}^2\right)=\frac{{\log }_a\left(a{b}^2\right)}{{\log }_a{a}^2}$$=\frac{{\log }_{a}a+{\log }_a{b}^2}{2}$$=\frac{1+2{\log }_{a}b}{2}$$=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $S=A.e^{nr}\iff e^{nr}=\frac{S}{A}\iff nr=\ln \frac{S}{A}\iff n=\frac{1}{r}\ln \frac{S}{A}$.

Với S = 93713000 người; $A=80902400$ người; $r=\frac{1,47}{100}=0,0147/$năm.

Suy ra $n=\frac{1}{0,0147}\ln \frac{93713000}{80902400}\approx 10$.

Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ (do $SA\perp \left(ABCD\right)$). Suy ra $CD\perp \left(SAD\right)$.

b) Có $SA\perp \left(ABCD\right)$ suy ra $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

Do đó $\left(SB,\left(ABCD\right)\right)=\left(SB,AB\right)=\widehat{SBA}=60^{\circ }$.

Hạ $AH\perp SO$ (1).

Ta có $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$ suy ra $BD\perp \left(SAC\right)$. Do đó $BD\perp AH$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AH\perp \left(SBD\right)$. Suy ra $\left(AC,\left(SBD\right)\right)=\left(AC,SO\right)=\widehat{SOA}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$. Suy ra $AC=2a\sqrt{2}\Rightarrow AO=a\sqrt{2}$.

Xét $\Delta SAB$ có $SA=AB.\tan \hat{B}=2a.\tan 60^{\circ }=2a\sqrt{3}$.

Xét $\Delta SAO$ có $SO=\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{12a^2+2a^2}=a\sqrt{14}$.

Suy ra $\cos \widehat{SOA}=\frac{AO}{SO}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$.