Đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo – Đề 10 (có đáp án)

a) Phương trình $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$ có nghĩa $\forall x\in \mathbb{R}$ hay $D=\mathbb{R}.$

Ta có $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0\iff \cos \frac{x}{2}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$$\iff \cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$

$\iff \frac{x}{2}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi \iff x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

b) Điều kiện $$\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \sin 2x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne k\pi \\ 2x\ne k\pi \end{array}\iff x\ne \frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$.

Tập xác định $$D=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Ta có $\cot x.\cot 2x-1=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x}-1=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{1-2{\sin }^{2}x}{2\sin x\cos x}-1$

$$=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{1-2{\sin }^{2}x}{2\sin x\cos x}-1=\frac{1}{2{\sin }^{2}x}-2$$

Khi đó $\cot x.\cot 2x-1=0\iff \frac{1}{2{\sin }^{2}x}-2=0\iff {\sin }^{2}x=\frac{1}{4}$

$\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=\sin \frac{\pi }{6}\\ \sin x=\sin \frac{-\pi }{6}\end{array}$

$$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{-\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $$x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$$.

Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm.

Ta có $$u_n-u_{n-1}=\frac{3u_{n-1}+1}{4}-u_{n-1}=\frac{1-u_{n-1}}{4}.$$

Do đó, để chứng minh dãy $\left(u_n\right)$ giảm, ta chứng minh $u_n>1\forall n\ge 1$ bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy,

Với $n=1\Rightarrow u_1=2>1$.

Giả sử $u_k>1\Rightarrow u_{k+1}=\frac{3u_k+1}{4}>\frac{3+1}{4}=1.$

Theo nguyên lí quy nạp, ta có $u_n>1\forall n\ge 1$.

Do đó $$u_n-u_{n-1}<0\iff u_n<u_{n-1}\forall n\ge 2$$.

Vậy dãy $\left(u_n\right)$ giảm.

a) Ta có $\{\begin{array}{l}M\in \left(SAD\right)\cap \left(MBC\right)\\ AD//BC\\ AD\subset \left(SAD\right);BC\subset \left(MBC\right)\end{array}$

    $\Rightarrow \left(SAD\right)\cap \left(MBC\right)=Mx//AD//BC$.

b) Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] gọi $L=CN\cap AB$.

    Suy ra $$LM$$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $$\left(CMN\right)$$ và $$\left(SAB\right),$$ điểm $$I$$ cần tìm là giao điểm của $$LM$$và $$SB.$$

    Ta có $\{\begin{array}{l}I\in \left(ICD\right)\cap \left(SAB\right)\\ CD//AB\\ CD\subset \left(ICD\right);AB\subset \left(SAB\right)\end{array}$

    $\Rightarrow \left(ICD\right)\cap \left(SAB\right)=Iy//CD//AB$

     Điểm $$J$$ cần tìm là giao điểm của $$Iy$$ với $$SD.$$

c) Ta có $SO=\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$.

Trong mặt phẳng $$\left(ICD\right),$$ gọi $E=JC\cap ID$ có

    $\{\begin{array}{l}E\in JC\subset \left(SAC\right)\\ E\in ID\subset \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow E\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$, hay $$E$$ thuộc $$SO.$$

    Lại có $$AN$$ là đường trung bình của tam giác $$LBC,$$ nên $$A$$ trung điểm của $$LB.$$

    • Trong tam giác $$SBL$$ có $$SA$$ là đường trung tuyến và $SM=\frac{2}{3}SA$ nên $M$ là trọng tâm của tam giác $$SBL$$. Nên $$I$$ trung điểm của $$SB.$$

    • Trong tam giác $$SBD$$ có $$E$$ là trọng tâm của tam giác. Do đó $\frac{SE}{SO}=\frac{2}{3}$.

Gọi $B_n,C_n$ lần lượt là số tiền công ty A cần trả theo cách tính của hai công ty B và C.

Theo bài ra, ta có:

• $B_n$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với $u_1=8$ triệu đồng, $d=0,5$ triệu đồng.

• $C_n$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với $u_1=60$ triệu đồng, $d=3$ triệu đồng.

Khi đó:

• Nếu thuê đất của công ty B trong vòng 15 năm = 60 quý thì số tiền công ty A phải trả là:

$B_{60}=\left(2\cdot 8+59\cdot 0,5\right)\cdot 30=1365$ (triệu đồng).

• Nếu thuê đất của công ty C trong vòng 15 năm thì số tiền công ty A phải trả là:

$$C_{15}=\left(2\cdot 60+14\cdot 3\right)\cdot 7,5=1215$$ (triệu đồng).

Do đó thuê mảnh đất trong vòng 15 năm của công ty C.

• Nếu thuê đất của công ty B trong vòng 10 năm = 40 quý thì số tiền công ty A phải trả là:

$B_{40}=\left(2\cdot 8+39\cdot 0,5\right)\cdot 20=710$ (triệu đồng).

• Nếu thuê đất của công ty C trong vòng 15 năm thì số tiền công ty A phải trả là:

$$C_{10}=\left(2\cdot 60+9\cdot 3\right)\cdot 4,5=661,5$$ (triệu đồng).

Do đó thuê mảnh đất trong vòng 10 năm của công ty C.

Vậy chọn công ty C để thuê cả hai mảnh đất.