Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 5 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có hàm số $$y=\cot x$$ là hàm lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

b) Đồ thị hàm số $$y=\cot x$$ có dạng:

$y=\cot x$. Xét tính đúng (ảnh 2)">

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số $$y=\cot x$$ cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ trong $$\left(0;2\pi \right)$$ là $$\frac{\pi }{2}$$ và $$\frac{3\pi }{2}$$.

d) Ta có phương trình: $$\cot x=\sqrt{3}$$$$\iff \cot x=\cot \frac{\pi }{6}$$$$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Xét trong khoảng $$\left(0;2\pi \right)$$, ta có: $$0<\frac{\pi }{6}+k\pi <2\pi$$$$\iff -\frac{1}{6}<k<\frac{11}{6}$$.

Mà $$k\in \mathbb{Z}$$, nên $$k=\left\{0;1\right\}$$.

Suy ra $$x=\left\{\frac{\pi }{6};\frac{7\pi }{6}\right\}$$.

Tổng các nghiệm của phương trình $$\cot x=\sqrt{3}$$ trong khoảng $$\left(0;2\pi \right)$$ là $$\frac{\pi }{6}+\frac{7\pi }{6}=\frac{4\pi }{3}.$$

Hướng dẫn giải

Ta có: $$h=\left|x\right|=\left|1,5\cos \left(\frac{\pi t}{4}\right)\right|\le 1,5.$$

a) Vậy ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là $$h=1,5\mathrm{m}$$.

Khi đó $$\cos \left(\frac{\pi t}{4}\right)=\pm 1$$$$\iff [\begin{array}{l}\frac{t\pi }{4}=k2\pi \\ \frac{t\pi }{4}=\pi +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$ $$\iff [\begin{array}{l}t=8k\\ t=4+8k\end{array},\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$.

b) Trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm $$t=0;$$

$$t=4;t=8$$ giây.

c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì $$x=0\iff 1,5\cos \left(\frac{\pi t}{4}\right)=0$$$$\iff \cos \left(\frac{\pi t}{4}\right)=0$$

$$\iff \frac{\pi t}{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff t=2+4k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$.

d) Ta có: $$0<t<20\iff 0<2+4k<20$$$$\iff -\frac{1}{2}<k<\frac{18}{4}.$$

Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k\in \left\{0;1;2;3;4\right\}$$. Do đó, $$t\in \left\{2;6;10;14;18\right\}$$.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm $$t=2;t=6;t=10;t=14;t=18$$ giây; tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Hướng dẫn giải

Ta thấy, số tiền lương năm sau hơn năm trước $$20$$ triệu đồng nên $$\left(u_n\right)$$ là cấp số cộng có $$u_1=100$$ và công sai $$d=20$$.

Do đó, $$u_n=u_1+\left(n-1\right)d=100+\left(n-1\right).20=20n+80$$.

Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ hai là

$$u_2=100+\left(2-1\right).20=120$$ (triệu đồng).

Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ 10 là

$$u_{10}=100+\left(10-1\right).20=280$$ (triệu đồng).

Số tiền bạn sinh viên tiết kiệm được sau $$n$$ năm là

$$S=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]-70n$$

   $$=\frac{n}{2}\left[2.100+\left(n-1\right).20\right]-70n$$

   $$=10n^2+20n$$ (triệu đồng).

Ta có: $$S\ge 2000\iff 10n^2+20n\ge 2000$$

$$\iff 10n^2+20n-2000\ge 0\iff [\begin{array}{l}n\ge 13,1\left(TM\right)\\ n\le -15,1\left(L\right)\end{array}$$.

Do đó, sau ít nhất 14 năm thì sinh viên có thể mua được chung cử 2 tỉ đồng.

Hướng dẫn giải

Số sinh viên được điều tra là: $$n=12+20+37+21+10=100$$.

Ta tính được giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $$3;5;7;9;11.$$

Số giờ làm trung bình của mỗi sinh viên trường đại học X là

$$\frac{3.12+5.20+7.37+9.21+11.10}{100}=6,94.$$

Số giờ làm thêm trung bình của mỗi sinh viên trường đại học X nhiều hơn 6 giờ.

Gọi $$x_1;x_2;.....x_{100}$$ là số giờ làm thêm của 100 sinh viên và giả sử dãy số này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là $$\frac{x_{50}+x_{51}}{2}$$.

Hai giá trị $$x_{50};x_{51}$$ thuộc nhóm $$\left[6;8\right)$$ nên nhóm này chữa trung vị.

Do đó trung vị của mẫu số liệu là $$M_0=6+\frac{\frac{100}{2}-\left(12+20\right)}{37}.2\approx 6,97.$$

Ta có: $$\frac{n}{4}=25$$. Do đó tứ phân vị thứ nhất là $$\frac{x_{25}+x_{26}}{2}$$, mà $$x_{25},x_{26}$$ đều thuộc nhóm $$\left[4;6\right)$$.

Vậy $$Q_1=4+\frac{25-12}{20}.2=5,3.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 6

Ta có: $$\{\begin{array}{l}{u}_1+u_5=51\\ u_2+u_6=102\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+u_1.q^4=51\\ u_1.q+u_1.q^5=102\end{array}$$

      $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1\left(1+q^4\right)=51\\ u_{1}q.\left(1+q^4\right)=102\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ q=2\end{array}$$.

Khi đó, tích của số hạng đầu $$u_1$$ và công bội $$q$$ là $$3.2=6$$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 7

Ta có: $$\sin 2x+2=m$$ $$\iff \sin 2x=m-2$$.

Có $$-1\le \sin 2x\le 1$$ nên điều kiện để phương trình có nghiệm là

$$-1\le m-2\le 1$$ $$\iff 1\le m\le 3$$ hay $$m\in \left[1;3\right].$$

Suy ra $$a=1;b=3$$.

Vậy $$T=a+2b=1+2.3=7$$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 5

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên khi đó $$x=0$$ ta có:

$$2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0$$ $$\iff \cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0$$ $$\Rightarrow 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$$ $$\iff t=\frac{2\pi }{15}+\frac{k\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$$.

Trong khoảng thời gian 3 giây đầu tiên, tức là $$0\le t\le 3$$,

hay $$0\le \frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5}\le 3$$$$\iff -\frac{2}{3}\le k\le \frac{45-2\pi }{3\pi }$$.

Vì $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k\in \left\{0;1;2;3;4\right\}$$.

Vậy trong khoảng thời gian 3 giây đầu tiên, vật qua vị trí cân bằng 5 lần.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 10

Số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi là cấp số nhân $$\left(u_n\right)$$ với công bội $$q=2$$.

Ta có: $$u_6=64000$$ $$\Rightarrow u_1.q^5=64000$$ $$\Rightarrow u_1=2000$$.

Sau $$n$$ phút thì số lượng vi khuẩn là $$u_{n+1}$$.

$$u_{n+1}=2048000$$ $$\Rightarrow u_1.q^n=2048000$$$$\Rightarrow 2000.2^n=2048000$$$$\Rightarrow n=10$$.

Vậy sau 10 phút thì có được $$2048000$$ con.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 4

Gọi $$u_i\left(1\le i\le n\right)$$ là độ dài cạnh thứ $$i$$ trong cấp số cộng tạo bởi độ dài các cạnh của đa giác.

Ta có $$u_n=44,d=3$$ nên $$u_1=u_n-\left(n-1\right)d=44-\left(n-1\right).3=47-3n.$$

Chu vi của đa giác là tổng các cạnh của đa giác và bằng $$158\mathrm{cm}$$

$$\Rightarrow \frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=158$$$$\iff n\left(91-3n\right)=316$$ $$\iff 3n^2-91n+316=0$$$$\iff [\begin{array}{l}n=\frac{79}{3}\\ n=4.\end{array}$$

Do $$n$$ là cạnh của đa giác nên $$n\in N^{\ast }$$ và $$n>2.$$

Vậy $$n=4$$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 45,9.

Cỡ mẫu là $$n=10+7+16+4+2+3=42$$.

Ta có: $$\frac{n}{4}=\frac{42}{4}=10,5.$$ Do đó, nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $$\left[45,5;50,5\right)$$.

Suy ra $$Q_1=45,5+\frac{10,5-10}{7}.\left(50,5-45,5\right)\approx 45,9$$.

Vậy tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đó là $$45,9.$$