Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 2 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) S

b) S

c) Đ

d) Đ

 

Ta có: $$\sin 2x=-\frac{1}{2}$$ $$\iff \sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$$ $$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \end{array},\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$.

Xét trên khoảng $$\left(0;\pi \right)$$, ta có:

Với $$0<-\frac{\pi }{12}+k\pi <\pi$$$$\iff \frac{1}{12}<k<\frac{13}{12}$$ .

Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=1$$ và $$x=\frac{11\pi }{12}$$.

Với $$0<\frac{7\pi }{12}+k\pi <\pi$$ $$\iff -\frac{7}{12}<k<\frac{5}{12}$$.

Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=0$$ và $$x=\frac{7\pi }{12}$$.

Vậy trong khoảng $$\left(0;\pi \right)$$ phương trình có 2 nghiệm.

Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $$\left(0;\pi \right)$$ bằng $$\frac{11\pi }{12}+\frac{7\pi }{12}=\frac{3\pi }{2}$$.

Trong khoảng $$\left(0;\pi \right)$$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $$\frac{11\pi }{12}$$.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

 

a) Ta có: $$-1\le \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]\le 1$$

$$\iff -3\le 3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]\le 3$$

$$\iff 9\le 3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12\le 15$$.

Do đó, tập giá trị của hàm số $$d\left(t\right)$$ là $$\left[9;15\right].$$

b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

$$3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12=12$$

$$\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=0$$ $$\iff \frac{\pi }{182}\left(t-80\right)=k\pi$$

$$\iff t-80=182k,\left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff t=80+182k\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Do $$t\in \mathbb{Z}$$ và $$0<t\le 365$$ nên ta có: $$\{\begin{array}{l}k\in \mathbb{Z}\\ 0<80+182k\le 365\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}k\in \mathbb{Z}\\ -\frac{40}{91}<k\le \frac{285}{182}\end{array}$$ $$\iff k\in \left\{0;1\right\}$$

Với $$k=0$$ thì $$t=80+182.0=80;$$

Với $$k=1$$ thì $$t=80+182.1=262.$$

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì

$$3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12=9$$

$$\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=-1$$

$$\iff \frac{\pi }{182}\left(t-80\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$

$$\iff t-80=-91+364k,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$

$$\iff t=-11+364k,\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Do $$t\in \mathbb{Z}$$ và $$0<t\le 365$$ nên ta có:

$$\{\begin{array}{l}k\in \mathbb{Z}\\ 0<-11+364k\le 365\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}k\in \mathbb{Z}\\ \frac{11}{364}<k\le \frac{94}{91}\end{array}$$ $$\iff k=1$$.

Với $$k=1$$ thì $$t=-11+364=353.$$

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

d) Thay $$t=107$$ vào $$d\left(t\right)$$, ta được $$d\left(107\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(107-80\right)\right]+12\approx 13,3$$ giờ.

Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

 

a) Do theo đề bài, ô thứ nhất nhận 1 hạt tóc, ô thứ hai thì gấp đôi ô thứ nhất, ô thứ 3 thì gấp đôi ô thứ hai, … cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô trước và nhận 64 ô.

Do đó số hạt thóc ở 64 ô lập thành một cấp số nhân với $$u_1=1;q=2.$$

b) Số hạt thóc ở ô thứ 8 sẽ là $$u_8=1.2^7=2^7=128.$$

c) Tổng số hạt thóc của 64 ô là:

$$S=1+2+2^2+....+2^{63}$$$$\Rightarrow S=1.\frac{1-2^{64}}{1-2}=2^{64}-1$$ hạt thóc.

Do đó, tổng khối lượng của số hạt thóc trên 64 ô trên bàn cờ là:

$$\left(2^{64}-1\right).\frac{20}{100}\approx 3,689.10^{18}\left(g\right)$$.

Đổi $$3,689.10^{18}g=3,689.10^{12}$$ (tấn) $$\approx 369$$ (tỉ tấn).

Tương tự, ta có khối lượng thóc ở 32 ô đầu tiên là:

$$\left(2^{32}-1\right).\frac{20}{100}=858993459$$ (g) $$\approx 859$$ tấn.

Vậy cần số chuyến là: $$859:10=85,9$$ (chuyến).

Vậy cần ít nhất 86 chuyến.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

$S.ABCD$ có đáy $$ABCD$$ là hình (ảnh 1)">

a) Ta có: $$\{\begin{array}{l}S\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)\\ AB\parallel CD\end{array}$$.

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $$\left(SAB\right)$$ và $$\left(SCD\right)$$ là đường thẳng qua $$S$$ và song song với $$AB$$.

b) Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Ta có $$\{\begin{array}{l}O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)\\ S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow SO=\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$$.

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $$\left(SAC\right)$$ và $$\left(SBD\right)$$ là đường thẳng $$SO.$$

c) Ta có: $$\{\begin{array}{l}G\in \left(SAB\right)\cap \left(JIG\right)\\ AB\parallel JI\end{array}$$

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $$\left(SAB\right)$$ và $$\left(IGJ\right)$$ là đường thẳng qua $$G$$ và song song với $$AB$$.

Lại có $AB||CD$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $$\left(SAB\right)$$ và $$\left(IGJ\right)$$ là đường thẳng qua $$G$$ và song song với $$CD$$.

d) Theo đề, ta có: $$NA=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}SA\Rightarrow SN=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}SA\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{SN}{SA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$$.

Lại có: $$SM=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}SD\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{SM}{SD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$$ nên $$\genfrac{}{}{0ex}{}{SN}{SA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{SM}{SD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$$. Suy ra $$MN\parallel AD$$.

Ta có: $$\{\begin{array}{l}G\in \left(GBC\right)\cap \left(GMN\right)\\ MN\parallel AD\\ BC\parallel AD\end{array}$$

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $$\left(GMN\right)$$ và $$\left(GBC\right)$$ là đường thẳng qua $$G$$ và song song với $$AD.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: $$-1,5$$

Ta có: $$\sin \alpha =\frac{2}{3}$$ và $$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$$ do đó $$\alpha$$ thuộc góc phần tư thứ hai.

Suy ra $$\cos \alpha <0$$ và $$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$$.

Ta có: $$P=\frac{1+\sin 2\alpha +\cos 2\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$$

        $$P=\frac{1+2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$$

        $$P=\frac{{\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2+\left(\cos \alpha -\sin \alpha \right)\left(\cos \alpha +\sin \alpha \right)}{\sin \alpha +\cos \alpha }$$

        $$P=\frac{\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)\left(\cos \alpha +\sin \alpha +\cos \alpha -\sin \alpha \right)}{\sin \alpha +\cos \alpha }$$

        $$P=2\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{3}\approx -1,5.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 11,3

Ta có: $$S_3-S_2=u_3$$$$\Rightarrow u_3=13-4=9$$$$\Rightarrow u_1.q^2=9$$$$\Rightarrow u_1=\frac{9}{q^2}.$$

Vì $$S_2=4$$ nên $$u_1+u_1.q=4$$.

Do đó, $$\frac{9}{q^2}+\frac{9}{q^4}=4$$ $$\iff 4q^2-9q-9=0$$ $$\iff q=3$$ hoặc $$q=-\frac{3}{4}$$.

Do $$q<0$$ nên $$q=-\frac{3}{4}$$ thỏa mãn.

Suy ra $$u_1=\frac{9}{q^2}=16$$.

Do đó $$S_5=\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\frac{181}{16}\approx 11,3$$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,5

$S.ABCD$ có đáy \[ABCD (ảnh 1)">

Gọi \[F = AB \cap CD\]. Nối $$F$$ với $$M$$, $$FM\cap SC=N$$. Khi đó, $$N$$ là giao điểm của $$\left(ABM\right)$$ và $$SC$$.

Theo giả thiết, ta có $$AD=2BC$$ và $$AD\parallel BC$$ do đó $$BC$$ là đường trung bình của tam giác $$FAD$$.

Suy ra $$C$$ là trung điểm của $$FD$$.

Trong mặt phẳng $$\left(SCD\right)$$ kẻ $$CE\parallel NM,\left(E\in SD\right)$$.

Do $$C$$ là trung điểm $$FD$$ nên suy ra $$E$$ là trung điểm $$MD$$ và $$M$$ là trung điểm $$SE$$.

Do $$MN\parallel CE$$ và $$M$$ là trung điểm $$SE$$ nên $$MN$$ là đường trung bình của tam giác $$SCE.$$

Từ đó suy ra $$N$$ là trung điểm $$SC$$ và $$\frac{SN}{SC}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 12,5

Để cabin đạt độ cao $$40m$$ thì $$h\left(t\right)=40$$

$$\iff 30+20\sin \left(\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}\right)=40$$ $$\iff \sin \left(\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$$$$\iff \sin \left(\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$$

$$\iff [\begin{array}{l}\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}$$$$\iff [\begin{array}{l}t=-\frac{25}{6}+50k\\ t=\frac{25}{2}+50k\end{array},k\in \mathbb{Z}.$$

Dễ thấy, giá trị $$t>0$$ nhỏ nhất thỏa mãn là $$t=12,5$$ giây.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2190

Gọi $$u_1;u_2;.....;u_{30}$$ lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,…. Và dãy ghế số ba mươi.

Ta có công thức truy hồi, ta có: $$u_n=u_{n-1}+4\left(n=2;3;...;30\right)$$.

Ký hiệu: $$S_{30}=u_1+u_2+.....+u_{30}$$, theo công thức tổng các số hạng của số cấp số cộng, ta được: $$S_{30}=\frac{\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right].n}{2}=\frac{\left[2.15+29.4\right].30}{2}=2190$$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2

Trong mặt phẳng $$\left(BCD\right)$$, gọi $$I=RQ\cap BD.$$

Trong $$\left(ABD\right)$$, gọi $$S=PI\cap AD\Rightarrow S=AD\cap \left(PQR\right).$$

Gọi E là trung điểm BR ⇒ R là trung điểm đoạn EC.

Mà Q là trung điểm CD ⇒ RQ là đường trung bình tam giác DEC.

⇒ RQ // DE ⇒ RI // DE.

Xét tam giác BRI có: RI // DE và E là trung điểm BR ⇒ D là trung điểm BI.

Xét tam giác ABI có: AD là đường trung tuyến tương ứng với cạnh BI và IP là đường trung tuyến tương ứng cạnh AB.

Mà IP ∩ AD = {S} ⇒ S là trọng tâm tam giác ABI. Vậy $$\genfrac{}{}{0ex}{}{SA}{SD}=2$$.