Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

a) Đúng. Phương trình có nghĩa khi $1+\sin 3x\ne 0\iff \sin 3x\ne -1$.

b) Đúng. Với điều kiện phương trình có nghĩa: $$\frac{\cos 3x}{1+\sin 3x}=0\iff \cos 3x=0$$.

c) Đúng. Với $x=\frac{5\pi }{6}$, ta có $$\frac{\cos \left(3\cdot \frac{5\pi }{6}\right)}{1+\sin \left(3\cdot \frac{5\pi }{6}\right)}=\frac{0}{2}=0$$. Vậy $x=\frac{5\pi }{6}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

d) Sai. Với điều kiện: $\sin 3x\ne -1$, ta có $$\frac{\cos 3x}{1+\sin 3x}=0\iff \cos 3x=0$$.

Vì ${\sin }^{2}3x+{\cos }^{2}3x=1$ nên $\cos 3x=0\Rightarrow {\sin }^{2}3x=1$$\iff [\begin{array}{l}\sin 3x=1\\ \sin 3x=-1\end{array}$.

Kết hợp điều kiện $\sin 3x\ne -1$, ta được $\sin 3x=1$$\iff 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}$.

Theo giả thiết ta có $x>0\iff \frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}>0$$\iff k>-\frac{1}{4}$. Do $k\in \mathbb{Z}$ nên $k_{\min }=0$.

Khi đó nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi }{6}$.

$\Rightarrow a=1;b=6\Rightarrow a^2+2b=13$.

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó $x=0$, ta có

$2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0\iff \cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0\iff 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff t=\frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$.

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là $0\le t\le 6$ hay

 $0\le \frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5}\le 6$$\iff -\frac{2}{3}\le k\le \frac{90-2\pi }{3\pi }$

Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\}$.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

a) Giá trị xe của ông An còn lại sau 16 năm:

$1,2\cdot 10^9\cdot {\left(1-8\%\right)}^{10}{\left(1-20\%\right)}^6\approx 136647000$ (đồng).

b) Tổng số tiền ông An mua bảo hiểm xe trong suốt 16 năm đầu: $S=S_{10}+S_6^{\prime }$

Với $S_{10}$ là tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân với $u_1=1,2\cdot 10^9\cdot 1,55\%$, $q=1-8\%=0,92$.

Với $S_6^{\prime }$ là tổng 6 số hạng đầu của cấp số nhân với $u_1^{\prime }=1,2\cdot 10^9\cdot {\left(1-8\%\right)}^{10}\cdot 1,55\%$, $q^{\prime }=1-20\%=0,8$.

Ta tính được $S_{10}=131504684,4$; $S_6^{\prime }=29807999,84$.

Khi đó, $S=S_{10}+S_6^{\prime }=161312684,2\approx 161313000$ (đồng).

Vậy, tổng số tiền ông An mua bảo hiểm xe trong suốt 16 năm đầu là $161313000$ đồng.

a) Trong tam giác $SBC$ có $$\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow MN//BC$$.

b) Xét $$\left(\alpha \right)$$ và $$\left(ABCD\right)$$ có $$D$$ chung, $$AC$$ nằm trong $$\left(ABCD\right)$$ và $$AC//\left(\alpha \right)$$ nên giao tuyến của 2 mặt phẳng $$\left(\alpha \right)$$ và $$\left(ABCD\right)$$ là đường thẳng qua $$D$$ và song song với $$AC$$, cắt $$BC$$ tại $$P$$.

Tứ giác $$ACPD$$ là hình bình hành nên $$CP=AD=BC$$. Do đó $C$ là trung điểm của $BP$.

Vì $$M,P,K$$ đều là điểm chung của $$\left(\alpha \right)$$ và $$\left(SBC\right)$$ nên $$M,P,K$$ thẳng hàng.

Tam giác $$SBP$$ có 2 trung tuyến $$SC,MP$$ nên $$K$$ là trọng tâm tam giác $$SBP$$.