Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

a) Đúng. Ta có $2\sin x=-\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\iff \sin x=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$.

b) Sai. Ta có $\sin x=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy phương trình có các nghiệm là: $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Sai. Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{5\pi }{4}$.

d) Sai. Số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left(-\pi ;\pi \right)$ là 2 nghiệm.

a) Đúng. Ta có: $u_2=u_{1}q=4,u_4=u_1{q}^3=9\Rightarrow \frac{u_4}{u_2}=\frac{u_1{q}^3}{u_{1}q}\Rightarrow \frac{9}{4}=q^2\Rightarrow q=-\frac{3}{2}\left(\mathrm{do}q<0\right)$.

b) Đúng. Thay $q=-\frac{3}{2}$ vào $u_2$, ta được: $u_1\left(-\frac{3}{2}\right)=4\Rightarrow u_1=-\frac{8}{3}$.

c) Sai. Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu $u_1=-\frac{8}{3}$ và công bội $q=-\frac{3}{2}$. Khi đó $u_n=-\frac{8}{3}\cdot {\left(-\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$.

Vậy $u_5=-\frac{27}{2}$.

d) Sai. $-\frac{2187}{32}\ne -\frac{8}{3}\cdot {\left(-\frac{3}{2}\right)}^7$ nên $-\frac{2187}{32}$ không phải là số hạng thứ 8 của cấp số nhân $\left(u_n\right)$.

a) Ta có $$-a+b\le h\left(t\right)=a\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+b\le a+b,\forall t$$.

Theo bài ra: $$\{\begin{array}{l}a+b=114,5\\ -a+b=0,5\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}a=57\\ b=57,5\end{array}$$.

Suy ra $$h\left(t\right)=57\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+57,5$$.

b) Cabin $M$ đạt được chiều cao $86$ m khi $$h\left(t\right)=57\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+57,5=86$$

$$\iff \sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{l}\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}t=5+15k\\ t=10+15k\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Vậy trong vòng quay đầu tiên cabin $M$ đạt được chiều cao $86$ m tại thời điểm $t=5$ phút hoặc $t=10$ phút.

Gọi $n\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$ là số ngày mỗi học sinh nuôi heo đất để số tiền đạt được là $$5658800$$ đồng.

Vì lớp 11A có tất cả 43 học sinh nên mỗi học sinh sau n ngày đều có số tiền nuôi heo đất là:

 $$\frac{5658800}{43}=131600$$ đồng.

Ngày đầu tiên mỗi bạn nuôi heo $$2000$$ đồng, từ ngày thứ hai trở đi mỗi bạn nuôi heo hơn ngày liền trước là $$200$$ đồng, do đó số tiền nuôi heo của mỗi bạn mỗi ngày trong n ngày lập thành một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu $u_1=2000$ và công sai $d=200$.

Ta có $S_n=u_1+u_2+....+u_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)\cdot d\right]=131600$

$$\iff \frac{n}{2}\left[4000+\left(n-1\right)\cdot 200\right]=131600\iff 100n^2+1900n-131600=0$$.

Giải phương trình ta được $n=28$ (loại đi $n=-47$vì $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

Vậy sau $28$ ngày thì số tiền nuôi heo đất của lớp 11A thu được là $$5658800$$ đồng.

a) Gọi $O=AC\cap BD$.

Xét tam giác $SAC$ có $O$, $M$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $SA$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM//SC$.

Ta có $\{\begin{array}{l}OM//SC\\ SC\subset \left(SCD\right)\\ OM\not\subset \left(SCD\right)\end{array}\Rightarrow OM//\left(SCD\right)$.

b) Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ có $BN\cap AD=E$.

Trong mặt phẳng $\left(SAD\right)$ có $EM\cap SD=F\Rightarrow F=SD\cap \left(BMN\right)$.

Tam giác $SAE$ có $D$ là trung điểm của $AE$; $M$ là trung điểm của $SA$.

Suy ra $F$ là trọng tâm tam giác $SAE$, do đó $\frac{SF}{FD}=2$.