Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 3 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) S

b) Đ

c) S

d) Đ

 

a) Ta có: $$\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

          $$\iff \sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$$

          $$\iff [\begin{array}{l}3x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 3x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(-\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}.$$

          $$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}\end{array},k\in \mathbb{Z}.$$

b) Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình, ta có:

Với $$-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}<0$$ khi $$k<\frac{1}{3}$$, mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k_{\max }=0$$. Khi đó, $$x=-\frac{2\pi }{9}$$ (1)

Với $$\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}<0$$ khi $$k<-\frac{1}{2}$$ mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k_{\max }=-1$$. Khi đó, $$x=-\frac{\pi }{3}$$ (2)

So sánh (1) và (2), ta suy ra $$x=-\frac{2\pi }{9}$$ là nghiệm âm lớn nhất của phương trình.

c) Với $$0<-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}<\frac{\pi }{2}$$ thì $$\frac{1}{3}<k<\frac{13}{12}$$. Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=1$$.

Do đó, $$x=\frac{4\pi }{9}$$.

Với $$0<\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}<\frac{\pi }{2}$$ thì $$-\frac{1}{2}<k<\frac{1}{4}$$. Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=0.$$

Do đó, $$x=\frac{\pi }{3}$$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm trong khoảng $$\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$$.

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $$\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$$ là $$\frac{4\pi }{9}+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{9}.$$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

 

Chiều cao của sóng tại thời điểm 5 giây là $$h\left(5\right)=75\sin \left(\frac{\pi .5}{8}\right)\approx 69,3\left(cm\right).$$

Chiều cao của sóng tại thời điểm 20 giây là $$h\left(20\right)=75\sin \left(\frac{\pi .20}{8}\right)=75\left(cm\right).$$

Ta thấy $$-75\le 75\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)\le 75$$.

Sóng đạt chiều cao lớn nhất là $$75\left(m\right)$$ khi $$\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)=1$$$$\iff \frac{\pi t}{8}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$$$$\iff t=4+16k.$$

Có $$0\le t=4+16k\le 30$$$$\iff -\frac{1}{4}\le k\le \frac{26}{16}$$.

Mà $$k\in \mathbb{Z}$$ nên $$k=0,k=1$$ và khi đó $$t=4$$, $$t=20$$ giây.

Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc $$t=0$$ giây), các thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất là 4 giây và 20 giây.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

 

Ta có: $$\{\begin{array}{l}{u}_1+u_7=26\\ u_2^2+u_6^2=466\end{array}$$

      $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+u_1+6d=26\\ {\left(u_1+d\right)}^2+{\left(u_1+5d\right)}^2=466\end{array}$$

      $$\iff \{\begin{array}{l}2u_1+6d=26\\ 2u_1^2+12u_{1}d+26d^2=466\end{array}$$

      $$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=13-3d\\ u_1^2+6u_{1}d+13d^2=233\end{array}$$

Thay $$u_1=13-3d$$ vào phương trình $$u_1^2+6u_{1}d+13d^2=233$$, ta được:

$${\left(13-3d\right)}^2+6\left(13-3d\right)d+13d^2=233$$

$$\iff 169-78d+9d^2+78d-18d^2+13d^2-233=0$$

$$\iff 4d^2-64=0$$$$\iff d^2=16$$

Do $$d<0$$ nên $$d=-4$$.

Suy ra $$u_1=13-3\cdot \left(-4\right)=13+12=25$$.

Vậy cấp số cộng $$\left(u_n\right)$$ có số hạng $$u_1=25$$ và công sai $$d=-4$$.

Ta có: $$u_{10}=u_1+9d=25+9.\left(-4\right)=-11.$$

           $$u_{2024}=u_1+2023d=25+2023.\left(-4\right)=-8067.$$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

 

$CD$ tại $$E$$, $$AC$$ cắt $$BD$$ tại $$F$$ trong mặt phẳng đáy.  Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: (ảnh 1)">

a) Ta có: $$E=AB\cap CD$$ $$\Rightarrow E\in AB,AB\subset \left(ABCD\right)$$ $$\Rightarrow E\in \left(ABCD\right).$$

Tương tự: $$F=AC\cap BD$$$$\Rightarrow F\in AC,AC\subset \left(ABCD\right)$$$$\Rightarrow F\in \left(ABCD\right).$$

Do đó, $$FE\subset \left(ABCD\right).$$

b) Dễ thấy $$\{\begin{array}{l}A\in \left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)\\ B\in \left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)\end{array}$$$$\Rightarrow AB=\left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)$$.

Vậy $$AB$$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $$\left(SAB\right)$$ và $$\left(ABCD\right).$$

c) Ta có: $$\{\begin{array}{l}E\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)\\ S\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)\end{array}$$$$\Rightarrow SE=\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right).$$

               $$\{\begin{array}{l}F\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)\\ S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)\end{array}$$$$\Rightarrow SF=\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right).$$

Do đó, $$SE$$ là giao điểm của hai mặt phẳng $$\left(SAB\right)$$ và $$\left(SCD\right)$$, $$SF$$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $$\left(SAC\right)$$ và $$\left(SBD\right).$$

d) Ta có: $$\{\begin{array}{l}G\in FE,FE\subset \left(SEF\right)\\ G\in AD,AD\subset \left(SAD\right)\end{array}$$ $$\Rightarrow G\in \left(SEF\right)\cap \left(SAD\right).$$

Mà $$S\in \left(SEF\right)\cap \left(SAD\right).$$

Vậy $$SG=\left(SEF\right)\cap \left(SAD\right).$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 7

Ta có: $$3\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-m+5=0$$

      $$\iff 3\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=m-5$$

      $$\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{m-5}{3}$$.

Để phương trình có nghiệm thì $$-1\le \frac{m-5}{3}\le 1$$ hay $$2\le m\le 8$$.

Theo đề, $$m\in \mathbb{Z}$$ nên $$m\in \left\{2;3;4;5;6;7;8\right\}$$.

Vậy có 7 giá trị nguyên $$m$$ thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 70

Theo đề, bốn số $$5;x;15;y$$ lập thành một cấp số cộng nên $$x=\frac{5+15}{2}=10$$.

Nhận thấy $$d=10-5=5$$.

Do đó, $$y=15+5=20.$$

Suy ra $$T=3x+2y=3.10+2.20=70.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2

Gọi $$O$$ là tâm hình bình hành $$ABCD.$$ Ta có: $$I=AM\cap \left(SBD\right)=AM\cap SO.$$ Xét tam giác $$SAC$$, có $$AM$$ và $$SO$$ là hai đường trung tuyến của tam giác. Mà $$AM\cap SO=I$$ nên $$I$$ là trọng tâm của tam giác $$SAC$$. Do đó, $$\frac{IA}{IM}=2.$$

$S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. $$M$$là trung điểm của $$SC$$. Gọi $$I$$ là giao điểm của đường thẳng $$AM$$ với mặt phẳng $$\left(SBD\right)$$. Tính tỉ số $$\frac{IA}{IM}$$. (ảnh 1)">

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 15,7

Giải phương trình $$y=0$$, ta có:

$$4,8\sin \frac{x}{5}=0$$$$\iff \sin \frac{x}{5}=0$$$$\iff \frac{x}{5}=k\pi \iff x=k5\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$$

Do đó đồ thị cắt trục $$Ox$$ tại các điểm có hoành độ $$0;5\pi ;10\pi ,...$$

Vì thế ta có tọa độ điểm $$A\left(5\pi ;0\right)$$ nên chiều rộng của con sông là $$OA=5\pi \approx 15,7\left(m\right).$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 250

Số lượng vi khuẩn ban đầu là $$S_0=4.10^6$$.

Sau 6 giờ số lượng vi khuẩn còn lại bằng một nửa so với trước đó.

Do đó, sau $$6t$$ giờ số lượng vi khuẩn còn lại là số hạng thứ $$t$$ của một cấp số nhân với $$u_1=S_0=4.10^6$$ và công bội là $$q=\frac{1}{2}$$.

Vậy sau 24 giờ ta được $$t=4$$, suy ra $$S=4.10^6.{\left(\frac{1}{2}\right)}^4=250$$ (nghìn con).

Vậy sau 24 giờ số lượng vi khuẩn còn lại là $$250$$ nghìn con.