Đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023 - 2024) – Đề 11 (có đáp án)

Ta có $\cot \left(3x+60^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff 3x+60^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }$

$\iff 3x=k180^{\circ }\iff x=k60^{\circ }\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có $u_n-u_{n-1}=\left(3n+5\right)-\left[3\left(n-1\right)+5\right]=3,\forall n\ge 2$. Do đó $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng.

Số hạng đầu $u_1=3.1+5=8$

a) Ta có $$I=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^3}+\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{3^n}-\underset{n\to +\infty }{\lim }2023=0+0-2023=-2023$$.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4n^2+n+1}+3n}{2n^{}-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+3}{2-\frac{1}{n}}$$$=\frac{\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\underset{n\to \infty }{\lim }3}{\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2-\frac{1}{n}\right)}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$$

a) Ta có $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}$$$$=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }2-\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x}+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^2}}{\underset{x\to +\infty }{\lim }1-\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^2}}=\frac{2-0+0}{1-0}=2$$

b) Nếu $\underset{x\to 2}{\lim }\left[f\left(x\right)-5\right]\ne 0$ thì $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-5}{x-2}=+\infty$ hoặc$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-5}{x-2}=-\infty$. Mâu thuẫn giả thiết . Vậy $\underset{x\to 2}{\lim }\left[f\left(x\right)-5\right]=0$.Suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=5.$

Ta có :

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{f\left(x\right)+4}-3}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)+4-9}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(\sqrt{f\left(x\right)+4}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-5}{\left(x-2\right)}.\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{f\left(x\right)+4}+3\right)}\\ =3.\frac{1}{5.6}=\frac{1}{10}\end{array}$

Ta có TXĐ : $\mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$; $$f(3)=3^2+3.3+\frac{5}{3-2}=23$$.

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2+\underset{x\to 2}{\lim }\left(3x\right)+\underset{x\to 2}{\lim }\frac{5}{x-2}=3^2+3.3+\frac{5}{3-2}=23=f(3)$$

Vậy hàm số liên tục tại x=3

Gọi $$x$$ là số tiền bác An gửi ngân hàng $$MSB$$.

$$320000000-x$$ là số tiền bác An gửi ngân hàng VietinBank.

Sau 15 tháng số tiền lãi ở ngân hàng $$MSB$$ là $$x(1+2,1\%{)}^5-x$$.

Sau 9 tháng số tiền lãi ở ngân hàng VietinBank là $$(320000000-x)(1+0.73\%{)}^9-(320000000-x)$$.

Ta có $$x(1+2,1\%{)}^5-x+(320000000-x)(1+0,73\%{)}^9-(320000000-x)=26670725,95$$.

$$\iff x=120000000$$.

Vậy số tiền bác An gửi vào hai ngân hàng$$MSB$$là $120$ triệu đồng và ngân hàng VietinBank $200$ triệu đồng

 

a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $CD//AB$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}CD//AB\\ CD\not\subset (SAB)\\ AB\subset (SAB)\end{array}\Rightarrow CD//(SAB)$ (điều phải chứng minh).

b) Ta có $OM,MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ và tam giác $SBD$

$\{\begin{array}{l}OM||SA\\ OM\not\subset \left(SAB\right)\\ SA\subset \left(SAB\right)\end{array}\Rightarrow OM//\left(SAB\right)$(1)

$\{\begin{array}{l}ON||SB\\ ON\not\subset \left(SAB\right)\\ SB\subset \left(SAB\right)\end{array}\Rightarrow ON//\left(SAB\right)$ (2)

Từ (1), (2) và $ON\cap OM=O,OM,ON\subset \left(OMN\right)\Rightarrow \left(OMN\right)//\left(SAB\right)$

c) Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $\left(SBC\right)$. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(P)$với các mặt phẳng $$(ABCD)$$và $$(SAB)$$.

Ta có $$\{\begin{array}{l}O\in \left(P\right)\cap \left(ABCD\right)\\ \left(P\right)//\left(SBC\right)\\ \left(ABCD\right)\cap \left(SBC\right)=BC\end{array}\Rightarrow \left(P\right)\cap \left(ABCD\right)=Ox,Ox//BC$$

Gọi $Ox\cap AB=Q$

$$\{\begin{array}{l}Q\in \left(P\right)\cap \left(SAB\right)\\ \left(P\right)//\left(SBC\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(SBC\right)=SB\end{array}\Rightarrow \left(P\right)\cap \left(SAB\right)=Qy,Oy//SB$$.

d)

Cách 1:

Gọi $F$ là giao điểm của $AE$ và $CD$ trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}GE\subset \left(ANF\right)\\ GE//\left(SCD\right)\\ \left(ANF\right)\cap \left(SCD\right)=NF\end{array}\Rightarrow GE//NF$

$\Rightarrow \frac{FE}{FA}=\frac{NG}{NA}=\frac{1}{3}$

Theo Talet, ta có: $\frac{EC}{AD}=\frac{FE}{FA}=\frac{1}{3}$$\Rightarrow EC=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BC\Rightarrow \frac{EB}{EC}=2$

Nhận xét: $\Delta EAB$ và $\Delta EAC$ có chung đường cao kẻ từ $A$.

Do đó: $\frac{S_{\Delta EAB}}{S_{\Delta EAC}}=\frac{EB}{EC}=2$.

Cách 2:

Vẽ $GF$ song song với $SD$$\left(F\in AD\right)$.

Ta chứng minh được: $\left(GEF\right)//\left(SCD\right)\Rightarrow EF//CD$

Từ đó suy ra được:

$\frac{EC}{BC}=\frac{FD}{AD}=\frac{GN}{AN}=\frac{1}{3}\Rightarrow EC=\frac{1}{3}BC$

Nhận xét: $\Delta EAB$ và $\Delta EAC$ có chung đường cao kẻ từ $A$

 Do đó: $\frac{S_{\Delta EAB}}{S_{\Delta EAC}}=\frac{EB}{EC}=2$