Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 9 (có đáp án)

Đặt $2^x=3^y=6^{-z}=t$ với $t>0.$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{2}^x=t\\ 3^y=t\\ 6^{-z}=t\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\log }_{2}t\\ y={\log }_{3}t\\ z=-{\log }_{6}t\end{array}.$

Mặt khác: ${\log }_{6}t=\frac{1}{{\log }_{t}6}=\frac{1}{{\log }_{t}3+{\log }_{t}2}=\frac{1}{\frac{1}{{\log }_{3}t}+\frac{1}{{\log }_{2}t}}=\frac{{\log }_{3}t.{\log }_{2}t}{{\log }_{3}t+{\log }_{2}t}$.

$$M=xy+yz+xz={\log }_{3}t.{\log }_{2}t-{\log }_{3}t.{\log }_{6}t-{\log }_{6}t.{\log }_{2}t$$$$={\log }_{3}t.{\log }_{2}t-\left({\log }_{3}t+{\log }_{2}t\right).{\log }_{6}t$$

$$={\log }_{3}t.{\log }_{2}t-\left({\log }_{3}t+{\log }_{2}t\right).\frac{{\log }_{3}t.{\log }_{2}t}{{\log }_{3}t+{\log }_{2}t}=0.$$

Diện tích rừng trồng mới của năm $$2024+1$$ là: $$600{\left(1+6\%\right)}^1$$.

Diện tích rừng trồng mới của năm $$2024+2$$ là: $$600{\left(1+6\%\right)}^2$$.

Diện tích rừng trồng mới của năm $$2024+n$$ là: $$600{\left(1+6\%\right)}^n$$.

Ta có: $$600{\left(1+6\%\right)}^n>1000\iff {\left(1+6\%\right)}^n>\frac{5}{3}\iff n>{\log }_{\left(1+6\%\right)}\frac{5}{3}\approx 8,76$$

Như vậy kể từ năm 2024 thì năm 2033 là năm đầu tiên diện tích rừng trồng mới đạt trên $$1000\mathrm{ha}$$.

${\log }_2\left({\log }_{\frac{1}{3}}\frac{3x-7}{x+3}\right)\ge 0$$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{3x-7}{x+3}>0\\ {\log }_{\frac{1}{3}}\frac{3x-7}{x+3}>0\\ {\log }_{\frac{1}{3}}\frac{3x-7}{x+3}\ge 1\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{3x-7}{x+3}>0\\ \frac{3x-7}{x+3}<1\\ \frac{3x-7}{x+3}\le \frac{1}{3}\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{3x-7}{x+3}>0\\ \frac{3x-7}{x+3}\le \frac{1}{3}\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{3x-7}{x+3}>0\\ \frac{8\left(x-3\right)}{3\left(x+3\right)}\le 0\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}x\in \left(-\infty ;-3\right)\cup \left(\frac{7}{3};+\infty \right)\\ x\in \left(-3;3\right]\end{array}\iff x\in \left(\frac{7}{3};3\right]$$.

Suy ra $a=\frac{7}{3}$; $b=3$.

Vậy $P=3a-b=3.\frac{7}{3}-3=4$.

Gọi I là trung điểm BC. Suy ra : $SI\perp BC$ và $HI\perp BC$

$\Rightarrow$ Góc giữa hai mặt phẳng $$\left(SBC\right)$$và $$\left(ABCD\right)$$là $\widehat{SIH}$

Ta có: $HI=\frac{AB}{2}=131$ (m)

Xét $\mathrm{\Delta SHI}$ vuông tại H ta có: $\tan \widehat{SIH}=\frac{SH}{HI}=\frac{\sqrt{18578}}{131}\Rightarrow \widehat{SIH}\approx 46^0$

Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp là khoảng $46^0$.

Gọi $$H$$là trọng tâm của tam giác $$ABC$$, Vì $$\Delta ABC$$ đều và $$SA=SB=SC$$ nên $$SH\perp \left(ABC\right)$$

Lại có $$\{\begin{array}{l}SC\cap \left(ABCD\right)=C\\ SH\perp \left(ABCD\right)\end{array}\Rightarrow \left(SC;\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SCH}=60^{\circ }$$

Từ $$D$$ dựng $$DI//AC$$ cắt $$AB$$ tại $$I$$$$\Rightarrow AC//\left(SDI\right)$$

$$\Rightarrow d\left(AC;SD\right)=d\left(AC;\left(SDI\right)\right)=d\left(O;\left(SDI\right)\right)$$

Mặt khác $$\frac{d\left(O;\left(SDI\right)\right)}{d\left(H;\left(SDI\right)\right)}=\frac{OD}{HD}=\frac{3}{4}\Rightarrow d\left(O;\left(SDI\right)\right)=\frac{3}{4}d\left(H;\left(SDI\right)\right)$$.

Vì $$AC\perp DH\Rightarrow HD\perp ID$$, mà $$SH\perp ID\Rightarrow ID\perp \left(SHD\right)$$

Từ $$H$$ dựng $$HF\perp SD\Rightarrow HF\perp \left(SDI\right)\Rightarrow d\left(H;\left(SDI\right)\right)=HF$$.

Ta có $$EC=\frac{\sqrt{21}}{2}\Rightarrow HC=\frac{2}{3}EC=\frac{\sqrt{21}}{3}$$

Trong tam giác $$SHC$$ có $$SH=HC\tan 60^{\circ }=a$$

Mà $$HD=HO+OD=\frac{4}{3}OD=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{21}}{2}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$$

Trong tam giác $$SHD$$ có $$\frac{1}{H{F}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{D}^2}=\frac{1}{{\sqrt{7}}^2}+\frac{3}{4.{\sqrt{7}}^2}=\frac{7}{4.7}\Rightarrow HF=2$$

$$\Rightarrow d\left(AC;SD\right)=\frac{3}{4}.\frac{2\sqrt{7}\sqrt{7}}{7}=\frac{3}{2}=1,5$$