Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 4 (có đáp án)

Ta có $4^x+4^{-x}=14$$\iff {\left(2^x\right)}^2+{\left(2^{-x}\right)}^2+2=16$$\iff {\left(2^x+2^{-x}\right)}^2=16$$\iff [\begin{array}{l}{2}^x+2^{-x}=4\\ 2^x+2^{-x}=-4\end{array}$$\iff 2^x+2^{-x}=4$ (vì $2^x+2^{-x}>0,\forall x\in \mathbb{R}$).

Vậy $P=4$.

Ta có: $2={\log }_{a^3}\frac{a^5}{\sqrt[4]{b}}=\frac{1}{3}{\log }_a\frac{a^5}{b^{\frac{1}{4}}}$$=\frac{1}{3}\left({\log }_a{a}^5-{\log }_a{b}^{\frac{1}{4}}\right)$$=\frac{1}{3}\left(5-\frac{1}{4}{\log }_{a}b\right)$

$\Rightarrow 5-\frac{1}{4}{\log }_{a}b=6$$\Rightarrow {\log }_{a}b=-4$.

Theo dự kiến, cần $24$ tháng để hoàn thành công trình. Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là: $\frac{1}{24}$ ( công trình )

Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là: $T_2=\frac{1}{24}+0,04.\frac{1}{24}=\frac{1}{24}{\left(1+0,04\right)}^1$

Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là:

$T_3=\left(\frac{1}{24}+0,04.\frac{1}{24}\right)+0,04.\left(\frac{1}{24}+0,04.\frac{1}{24}\right)$ $=\frac{1}{24}.{\left(1+0,04\right)}^2$

Như vậy khối lượng công việc của tháng thứ $n$ là: $T_n=\frac{1}{24}.{\left(1+0,04\right)}^{n-1}$

Ta có: $\frac{1}{24}.{\left(1+0,04\right)}^0+\frac{1}{24}.{\left(1+0,04\right)}^1+...+\frac{1}{24}.{\left(1+0,04\right)}^{n-1}=1$

$\iff \frac{1}{24}.\frac{1-{\left(1+0,04\right)}^n}{1-\left(1+0,04\right)}=1\iff {\left(1+0,04\right)}^n=\frac{49}{25}\iff n={\log }_{1+0,04}\frac{49}{25}\approx 17,2$

Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ $$18$$ từ khi khởi công.

Ta có hình chiếu của $A^{\prime }C$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là $AC$.

Nên $$\left(A^{\prime }C,\left(ABC\right)\right)=\left(A^{\prime }C,AC\right)=\widehat{A^{\prime }CA}$$. Ta có $\tan \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A^{\prime }A}{AC}=\frac{3a}{a\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{A^{\prime }CA}=60^{\circ }$.

Do vậy $\left(A^{\prime }C,\left(ABC\right)\right)=60^{\circ }$.

Dựng điểm D sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Ta có $AB//CD$ nên $$AB//\left(SCD\right)$$.

Khi đó $d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=d\left(A,\left(SCD\right)\right)$.

Trong $\left(SCD\right)$, dựng $AH\perp SD$ ($H\in SD$).

Ta có $$\{\begin{array}{l}CD\perp AD\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AH$$.

Có $$\{\begin{array}{l}AH\perp SD\\ AH\perp CD\end{array}\Rightarrow AH\perp \left(SCD\right)$$. Do đó $d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AH$.

Ta có $AD=BC=\sqrt{2}$.

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{1}{a^2}\Rightarrow AH=a$. Vậy $d\left(AB,SC\right)=AH=1$.

Giả sử được hình chóp tứ giác đều như hình vẽ có cạnh đáy bằng \(x\sqrt 2 \).

Khi đó: $OM=x$ $\Rightarrow OH=HM=\frac{x}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow SH=10\sqrt{2}-\frac{x}{\sqrt{2}}$.

Suy ra: $$SO=\sqrt{S{H}^2-O{H}^2}=\sqrt{{\left(10\sqrt{2}-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2-{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2}=\sqrt{20\left(10-x\right)}$$.

Thể tích $V=\frac{1}{3}.S_{MNPQ}.SO$ $=\frac{1}{3}.2x^2.\sqrt{20\left(10-x\right)}$ $=\frac{\sqrt{20}}{3}.x^2.\sqrt{40-4x}$ (với $0\le x\le 10$).

Tìm giá trị lớn nhất của $V$ ta được $V_{\max }=\frac{\sqrt{20}}{3}.10^2$ khi $x=8$.

Có thể tìm giá trị lớn nhất bằng cách áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số không âm, ta có:

$x^2.\sqrt{40-4x}=\sqrt{\left(40-4x\right).x.x.x.x}.\le {\left(\sqrt{\frac{40-4x+x+x+x+x}{4}}\right)}^4$$\iff \sqrt{40-4x}.x^2\le 10^2$.

Vậy$V=\frac{\sqrt{20}}{3}.x^2\sqrt{40-4x}\le \frac{\sqrt{20}}{3}.10^2$. Dấu bằng xảy ra khi $40-4x=x\iff x=8$.