Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều – Đề 9 (có đáp án)

1. Với $b>1>a>0$ ta có:

$${\log }_a^2\left(ab\right)=4\iff {\left({\log }_{a}a+{\log }_{a}b\right)}^2=4\iff {\left(1+{\log }_{a}b\right)}^2=4$$

$$\iff [\begin{array}{l}1+{\log }_{a}b=2\\ 1+{\log }_{a}b=-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}{\log }_{a}b=1\\ {\log }_{a}b=-3\end{array}$$.

Vì $\{\begin{array}{l}0<a<1\\ b>1\end{array}$nên ${\log }_{a}b=-3$.

Khi đó, ${\log }_a^3\left(a{b}^2\right)={\left({\log }_{a}a+2{\log }_{a}b\right)}^3={\left(1+2\cdot \left(-3\right)\right)}^3=-125$.

2. Hàm số $$y={\left(x^2-2x-m+1\right)}^{\sqrt{7}}$$ có tập xác định là $$\mathbb{R}$$$$\iff x^2-2x-m+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$\iff m<{\left(x+1\right)}^2,\forall x\in \mathbb{R}\iff m<\underset{x\in \mathbb{R}}{\min }{\left(x+1\right)}^2\iff m<0$$.

Mà $$\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in \left(-2024;2024\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in \left(-2024;0\right)\end{array}$$ nên có 2023 giá trị $$m$$ thỏa mãn yêu cầu.

a) Ta có tam giác $$ABC$$ là tam giác đều và $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM\perp BC$.

Mà $SA\perp BC\left(\mathrm{do}SA\perp \left(ABC\right)\right)$, do đó $$BC\perp \left(SAM\right)$$. Suy ra $$BC\perp AH$$.

Vì $$H$$ là hình chiếu vuông góc của $$A$$ lên $$SM$$ nên $$AH\perp SM$$.

Ta suy ra $$AH\perp \left(SBC\right)$$.

b) Vì $$AH\perp \left(SBC\right)$$ nên $$SH$$ là hình chiếu của $$SA$$ lên mặt phẳng $$\left(SBC\right)$$.

c) Từ b) ta suy ra góc giữa đường thẳng $$SA$$ và mặt phẳng $$\left(SBC\right)$$ là góc $$\alpha =\widehat{ASH}$$.

Xét tam giác $$SAM$$ vuông tại $$A$$ ta có:

$$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{11}{6a^2}$$$$\Rightarrow A{H}^2=\frac{6a^2}{11}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{66}}{11}$$.

Xét tam giác $$SAH$$ vuông tại $$H$$ ta có: $$\sin \widehat{ASH}=\frac{AH}{SA}=\frac{\frac{a\sqrt{66}}{11}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{33}}{11}$$.

Do đó, $\cos \widehat{ASH}=\frac{2\sqrt{22}}{11}$.

Nhận xét: Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp nên nó chỉ hoạt động bình thường khi cả hai bóng bình thường. Hệ thống II gồm 2 bóng được mắc song song nên nó chỉ hỏng khi cả hai bóng đều hỏng.

⦁ Gọi $A$ là biến cố: “Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng” thì $\overline{A}$ là biến cố “Hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng”.

Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là 1 – 0,15 = 0,85.

Xác suất để hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là:

$P\left(\overline{A}\right)=0,85\cdot 0,85=0,7225$.

Suy ra $P\left(A\right)=1-0,7225=0,2775$.

⦁ Gọi $B$ là biến cố: “Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng”.

Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là 0,15.

Xác suất để hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là $$P\left(B\right)=0,15\cdot 0,15=0,0225$$.

Vậy xác suất để cả hai hệ thống I, II đều bị hỏng là:

$P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=0,2775\cdot 0,0225=\frac{999}{160000}\approx 0,00624.$