Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) – Đề 2 (có đáp án)

a) (0,75 điểm) Tìm tập xác định của hàm số: $y=\frac{\tan x+1}{\sin x}+\cos (x+\frac{\pi }{3})$

Điều kiện $$\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}$$     $$\iff \{\begin{array}{l}x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$$

Vậy TXĐ: $$D=\left\{x\in \mathbb{R};x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$$

b) (0,75điểm) Tính giá trị lượng giác $$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)$$ biết $$\sin \alpha =-\frac{12}{13},\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$$.

Ta có:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha \Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{25}{169}$$

$$\Rightarrow [\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{5}{13}\\ \cos \alpha =-\frac{5}{13}\end{array}$$

Vì $$\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi \Rightarrow \cos \alpha >0$$ nên $$\cos \alpha =\frac{5}{13}$$.

Lại có$$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha$$

 $$=\frac{5}{13}\cos \frac{\pi }{3}+\left(-\frac{12}{13}\right)\sin \frac{\pi }{3}$$

$$=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}$$

c) (0,5 điểm) Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$

Ta có $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$

 $=\frac{2\sin 2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x.\cos x+\cos 2x}$

$=\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}$

$=\tan 2x$

  a) $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$         

$\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff [\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ \frac{x}{2}=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k4\pi \\ x=-\frac{5\pi }{6}+k4\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$     

Vậy tập nghiệm $$T=\left\{x=-\frac{\pi }{6}+k4\pi ;x=-\frac{5\pi }{6}+k4\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$$

b) $\sin x=\cos 3x$.

$\iff \sin x=\sin (\frac{\pi }{2}-3x)\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{4}-k\pi \end{array}$

Vậy tập nghiệm $$T=\left\{x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2};x=-\frac{\pi }{4}-k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$$

S.ABCD có đáy \( (ảnh 1)">

a) (1,0 điểm) Chứng minh $$MN//\left(ABCD\right).$$

Ta có $$MN$$ là đường trung bình tam giác $$SAC$$.

Suy ra $$MN//AC$$.

Do đó: $$\{\begin{array}{l}MN//AC\\ MN\not\subset \left(ABCD\right);AC\subset \left(ABCD\right)\end{array}\Rightarrow MN//\left(ABCD\right).$$

   b) (1,0 điểm) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng $$\left(BMN\right)$$và $$\left(ABCD\right).$$

Ta có B là điểm chung của 2 mặt phẳng $$\left(BMN\right)$$và $$\left(ABCD\right).$$

Lại có: $$\{\begin{array}{l}MN//AC\\ AC\subset \left(ABCD\right);MN\subset (BMN).\end{array}\Rightarrow (BMN)\cap \left(ABCD\right)=Bx,Bx//MN//AC.$$

     c) (1,0 điểm) Gọi $$P$$ là trung điểm $$BO$$. Xác định giao điểm \(Q\) của cạnh $SD$ và mặt phẳng $\left(MNP\right)$. Tính tỷ số $\frac{SQ}{SD}$.

Gọi $$I$$ là giao điểm của $$MN$$ và $$SO$$.

$Q$ là giao điểm của $$PI$$ và $$SD$$.

Ta có $$Q\in PI,PI\subset (MNP)\Rightarrow Q\in (MNP).$$

Mà $$Q\in SD$$. Suy ra $Q$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $\left(MNP\right)$.

Vì $$I$$là trung điểm $$SO$$ nên $$PI$$ là đường trung bình tam giác $$SBO$$. Suy ra $$PI//SB$$ hay $$PQ//SB$$.

Xét tam giác SBD có: $\frac{SQ}{SD}=\frac{BP}{BD}\Rightarrow \frac{SQ}{SD}=\frac{1}{4}$.

Ta có $$-a+b\le h(t)=a\sin (\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2})+b\le a+b,\forall t$$.

Theo bài ra: $$\{\begin{array}{l}a+b=114,5\\ -a+b=0,5\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{l}a=57\\ b=57,5\end{array}$$

Suy ra $$h(t)=57\sin (\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2})+57,5$$

Do đó $$h(t)=57\sin (\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2})+57,5=86$$

$$\iff \sin (\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2})=\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{l}\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}t=5+15k\\ t=10+15k\end{array}(k\in \mathbb{Z}).$$

Vậy trong vòng quay đầu tiên cabin $M$ đạt được chiều cao $86$ m tại thời điểm $t=5$ phút hoặc $t=10$ phút.