Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) – Đề 1 (có đáp án)

a) Tìm tập xác định của hàm số $y=\tan \left(\frac{\pi }{5}-2x\right)$

Điều kiện xác định:$\cos \left(\frac{\pi }{5}-2x\right)\ne 0$

                      $\begin{array}{l}\iff \frac{\pi }{5}-2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\\ \iff x\ne -\frac{3\pi }{20}-\frac{k\pi }{2},k\in Z\end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{3\pi }{20}-\frac{k\pi }{2}|k\in Z\right\}$.

b) Cho $\cos \alpha =-\frac{3}{4}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Tính $\sin 2\alpha$ và $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$

Áp dụng công thức ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ ta có:

$$\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$$

Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $$\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$$

+) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha .\cos \alpha =2.\left(-\frac{3}{4}\right).\frac{\sqrt{7}}{4}=-\frac{3\sqrt{7}}{8}$

+) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6}-\sin \alpha .\sin \frac{\pi }{6}$$=-\frac{3}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{7}}{8}$

a) $2\sin \left(\frac{x}{2}-{15}^0\right)-1=0$

$\begin{array}{l}\iff \sin \left(\frac{x}{2}-{15}^0\right)=\frac{1}{2}\\ \iff \sin \left(\frac{x}{2}-{15}^0\right)=\sin 30^0\\ \iff [\begin{array}{l}\frac{x}{2}-15^0=30^0+k360^0\\ \frac{x}{2}-15^0=180^0-30^0+k360^0\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=90^0+k720^0\\ x=330^0+k720^0\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $[\begin{array}{l}x=90^0+k720^0\\ x=330^0+k720^0\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) $2{\cos }^{2}x-\sin 3x=1$

$\begin{array}{l}\iff 2{\cos }^{2}x-1=\sin 3x\\ \iff \cos 2x=\sin 3x\\ \iff \cos 2x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \\ 2x=-\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{2}-k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{2}-k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

a) Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng

$\{\begin{array}{l}2u_3+u_5=-18\\ u_6-3u_4=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3u_1+8d=-18\\ -2u_1-4d=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}$.

b) Ta có: $S_{15}=\frac{15}{2}.\left[2.2+\left(15-1\right).\left(-3\right)\right]$$=-285$.

Gọi $u_n$là số tiền bạn An nợ ngân hàng sau $n$ năm

Ta có: $u_1=u_{n-1}+u_{n-1}.0,04=u_{n-1}.1,04$

Ta có dãy số: $\left(u_n\right)$lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=40+40.0,04=41,6$ (triệu đồng) và công bội $q=1,04$

Vậy số tiền bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm là:

     $u_4=u_1.q^3=41,6.1,04^3=46,8$ (triệu đồng).

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: $\left(SAC\right)$ và  $\left(SBD\right)$ ; $\left(SAB\right)$ và $\left(SCD\right)$.

+) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$và $BD$

Ta có:

$\{\begin{array}{l}O\in AC\\ AC\subset \left(SAC\right)\end{array}\Rightarrow O\in \left(SAC\right)$

$\{\begin{array}{l}O\in BD\\ BD\subset \left(SBD\right)\end{array}\Rightarrow O\in \left(SBD\right)$

Mà: $S\in \left(SAC\right)$ và $S\in \left(SBD\right)$

Vậy: $\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO$

+) Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, kéo dài $AB$và $CD$ cắt nhau tại $I$

Ta có:

$\{\begin{array}{l}I\in AB\\ AB\subset \left(SAB\right)\end{array}\Rightarrow I\in \left(SAB\right)$

$\{\begin{array}{l}I\in CD\\ CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\Rightarrow I\in \left(SCD\right)$

Mà: $S\in \left(SAB\right)$ và $S\in \left(SCD\right)$

Vậy: $\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)=SI$

b) Tìm giao điểm của đường thẳng $MG$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

Gọi $N$là trung điểm của $CD$

Trong $\Delta SAN$có: $\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2};\frac{SG}{SN}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{SM}{SA}\ne \frac{SG}{SN}$

$\Rightarrow$$MG$ không song song với $AI$

Trong $\left(SAI\right)$, kéo dài $MG$ và $AI$ cắt nhau tại $K$

Ta có: $\{\begin{array}{l}K\in AI\\ AI\subset \left(ABCD\right)\end{array}\Rightarrow K\in \left(ABCD\right)$

Vậy: $K$ là giao điểm của $MG$ và $\left(ABCD\right)$

$\begin{array}{l}\left(2\cos x+1\right).\left(\sin 2x+2\cos x-m\right)=3-4{\sin }^{2}x\left(1\right)\\ \iff \left(2\cos x+1\right).\left(\sin 2x-m+1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}\cos x=-\frac{1}{2}\\ \sin 2x=m-1\left(2\right)\end{array}\end{array}$

Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$ có một nghiệm $x=\frac{2\pi }{3}$ thuộc $\left[0;\pi \right]$

Đặt $t=2x,x\in \left[0;\pi \right]\Rightarrow t\in \left[0;2\pi \right]$,

Phương trình $\left(2\right)$ trở thành $\sin t=m-1\left(3\right)$

Phương trình $\left(1\right)$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;\pi \right]$ thì phương trình $\left(2\right)$phải có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;\pi \right]$ và khác nghiệm $x=\frac{2\pi }{3}$

$\iff$ phương trình $\left(3\right)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;2\pi \right]$ và khác nghiệm $x=\frac{4\pi }{3}$

Vẽ đồ thị hàm số $y=\sin t$ với $t\in \left[0;2\pi \right]$

m để phương trình \(\left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x + (ảnh 1)">

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;2\pi \right]$ và khác nghiệm $x=\frac{4\pi }{3}$ $\iff [\begin{array}{l}0<m-1<1\\ \{\begin{array}{l}-1<m-1<0\\ m-1\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}1<m<2\\ \{\begin{array}{l}0<m<1\\ m\ne 1-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\end{array}$.