Đề thi giữa kì Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

a) Đúng. Số tiền phải trả cho cuộc gọi nội mạng mỗi tháng là $x$ (nghìn đồng), số tiền phải trả cho cuộc gọi ngoại mạng mỗi tháng là $2y$ (nghìn đồng) với điều kiện: $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$.

b) Đúng. Ta có bất phương trình: $x+2y<100\left(\ast \right)$.

c) Đúng. Xét $x=50,y=20$ thay vào $\left(\ast \right):50+2\cdot 20<100$ (đúng) suy ra $\left(50;20\right)$ là một nghiệm của $\left(\ast \right)$.

d) Sai. Biểu diễn miền nghiệm của $\left(\ast \right)$ trên mặt phẳng tọa độ: Vẽ đường thẳng $x+2y=100$.

Ta thấy điểm $O\left(0;0\right)$ thuộc miền nghiệm của $\left(\ast \right)$ do thay tọa độ $O$ vào $\left(\ast \right)$: $0<100$ (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình $\left(\ast \right):x+2y<100$  là nửa mặt phẳng (không kể d) có chứa điểm $O$ (phần không gạch chéo trên hình).

Trong thực tế, vì $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$ nên ta chỉ xét miền nghiệm bất phương trình ứng với miền tam giác $OAB$.

a) Sai. Vì $90°<\alpha <180°$ nên $\cos \alpha <0$.

b) Đúng. Ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$.

Do đó $\cos \alpha =-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$.

c) Sai. Ta có $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{3}{4}\Rightarrow \tan \left(180°-\alpha \right)=-\tan \alpha =\frac{3}{4}$.

d) Đúng. Ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=-\frac{4}{3}$.

Vậy $A=\frac{\tan \alpha -\cot \left(180°-\alpha \right)}{\sin \left(90°-\alpha \right)}=\frac{\tan \alpha +\cot \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\left(-\frac{3}{4}\right)+\left(-\frac{4}{3}\right)}{-\frac{4}{5}}=\frac{125}{48}$.

Kí hiệu $A$ là tập hợp học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob, $B$ là tập hợp học sinh tham gia tiết mục hát, $E$ là tập hợp học sinh trong lớp. Ta có thể biểu diễn ba tập hợp đó bằng biểu đồ Ven như hình sau:

Khi đó, $A\cap B$ là tập hợp học sinh tham gia cả hai tiêt mục. Số phần tử của tập hợp $A$ là 35 , số phần tử của tập hợp $A\cap B$ là 10 , số phần tử của tập hợp $E$ là 45 .

Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là $45-4=41$ (học sinh).

Số học sinh tham gia tiết mục hát mà không tham gia tiết mục nhảy Flashmob là $41-35=6$ (học sinh).

Số học sinh tham gia tiết mục hát là $6+10=16$ (học sinh).

Gọi $x$ là số mét vải loại A, $y$ là số mét vải loại B mà người thợ sản suất.

Theo đề ta suy ra hệ bất phương trình: $\left(\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 6\\ x+2y\le 8\end{array}\right)$ (1).

Số tiền lợi nhuận là: $L\left(x;y\right)=0,8x+y$ (triệu đồng).

+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ (1) lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là miền tứ giác $OABC$ (kể cả biên) với $O\left(0;0\right),A\left(0;4\right),B\left(4;2\right),C\left(6;0\right).$ 

+ Xét $L\left(x;y\right)$ tại các đỉnh của tứ giác $OABC$, ta có:

$L\left(0;0\right)=0$ (triệu đồng)

$L\left(0;4\right)=4$ (triệu đồng)

$L\left(4;2\right)=5,2$ (triệu đồng)

$L\left(6;0\right)=4,8$ (triệu đồng).

+ Ta thấy $L$ đạt giá trị lớn nhất là $5,2$ (triệu đồng) tại $x=4$ và $y=2$ 

Vậy người thợ cần sản xuất 4 mét loại A và 2 mét loại B thì thu lại lợi cao nhất.

Ta có $\widehat{BAD}=54°+22°=76°\Rightarrow \widehat{ABC}=180°-76°=104°$, $\widehat{ACB}=\widehat{DAC}=22°.$

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta có $\frac{AC}{\sin 104°}=\frac{AB}{\sin 22°}\Rightarrow AC=\frac{70\cdot \sin 104°}{\sin 22°}.$

Suy ra diện tích tam giác ABC là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin 54°=\frac{{70}^2\cdot \sin 104°\cdot \sin 54°}{2\cdot \sin 22°}.$

Lại có $\widehat{ADB}=180°-76°-73°=31°.$

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABD, ta có $\frac{AD}{\sin 73°}=\frac{AB}{\sin 31°}\Rightarrow AD=\frac{70\cdot \sin 73°}{\sin 31°}.$

Suy ra diện tích tam giác ACD là $S_{ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AD\cdot \sin 22°=\frac{{70}^2\cdot \sin 104°\cdot \sin 73°}{2\cdot \sin 31°}.$

Vậy diện tích mảnh đất là $S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}\approx 9548{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m}}^{\text{2}}\text{)}.$