Đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 4 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có tập hợp $$A=\left[-3;6\right]$$ và $\mathbb{Z}=\left\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\right\}$

Do đó $$A\cap \mathbb{Z}=\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6\right\}$$.

b) $$A\cap B=\varnothing \iff [\begin{array}{l}2m+3\le -3\\ 2m-4>6\end{array}$$$$\iff [\begin{array}{l}m\le -3\\ m>5\end{array}$$

Vậy với $m\le -3$ hoặc $m>5$ thì $$A\cap B=\varnothing$$.

Hướng dẫn giải

Giả sử $$x,y$$ lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội thi cần pha chế $$\left(x,y\ge 0\right)$$.

Khi đó:

Số gam đường cần dùng là: $$30x+10y$$.

Số lít nước cần dùng là: $$x+y$$.

Số gam hương liệu cần dùng là: $$x+4y$$.

Vì mỗi đội chơi được sử dụng tối đa $$24$$g hương liệu, $$9$$lít nước và $$210$$g đường để pha chế nước cam và nước táo nên ta lập được hệ bất phương trình$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 30x+10y\le 210\\ x+y\le 9\\ x+4y\le 24\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+y\le 21\\ x+y\le 9\\ x+4y\le 24\end{array}$$.$$\left(1\right)$$

Miền nghiệm của $$\left(1\right)$$ là miền trong ngũ giác $$OBCDE$$ với $$O\left(0;0\right)$$, $$B\left(0;6\right)$$, $$C\left(4;5\right)$$, $$D\left(6;3\right)$$, $$E\left(7;0\right)$$.

Số điểm thưởng đạt được là: $$P=60x+80y$$.

Biểu thức $$P=60x+80y$$ đạt GTLN tại $$\left(x;y\right)$$ là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác.

Ta cần tìm $$x,y$$ để biểu thức $$P=60x+80y$$ đạt GTLN trên miền nghiệm của $$\left(1\right)$$.

Thay lần lượt tọa độ các đỉnh vào biểu thức, ta được:

$$P\left(0;0\right)=0,P\left(0;6\right)=480,P\left(4;5\right)=640,P\left(6;3\right)=600,P\left(7;0\right)=420$$.

Vậy mỗi đội nên pha chế $$4$$lít nước cam và $$5$$lít nước táo để đạt được số điểm thưởng cao nhất.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác $$ABC$$, ta có:

$$\hat{A}=180^{\circ }-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180^{\circ }-\left(105^{\circ }+30^{\circ }\right)=45^{\circ }$$.

Áp dụng định lý sin, ta có: $$\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 105^{\circ }}\iff \frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{22}{\sin 105^{\circ }}\Rightarrow AB\approx 11,4$$

Vậy khoảng cách từ $$A$$ đến $$B$$ là $$11,4$$m.

b) Diện tích của khu vườn: $$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}$$.

Xét tam giác $$ABC$$ có: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \hat{A}\approx \frac{1}{2}.11,\mathrm{4.22.}\sin 45^{\circ }\approx 88,67$$

Xét tam giác $$ADC$$có: $$p=\frac{AD+CD+AC}{2}=\frac{20+22+6}{2}=24$$

$$\begin{array}{l}{S}_{ADC}=\sqrt{p\left(p-AD\right)\left(p-CD\right)\left(p-AC\right)}\\ \Rightarrow S_{ADC}=\sqrt{24.\left(24-20\right)\left(24-22\right)\left(24-6\right)}\approx 58,79\end{array}$$

$$\Rightarrow S_{ABCD}\approx 88,67+58,79\approx 147,5$$.

Vậy diện tích khu vườn đó là $147,5m^2$.