Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 2 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Giả sử Parabol có dạng: $y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$

Chọn hệ trục như hình vẽ khi đó Parabol đi qua điểm $A\left(100;30\right)$ có đỉnh $C\left(0;5\right)$

+) Điểm đỉnh $C\left(0;5\right)$, có: $x_C=-\frac{b}{2a}=0\iff b=0$

 Thay $x=0$, $y=5$ vào hàm số ta được: $c=5$.

Khi đó hàm số trở thành: $y=a{x}^2+5$

+) Thay tọa độ điểm $A\left(100;30\right)$ với $x=100$ và $y=30$ vào hàm số ta được:

$30=a.100^2+5$

$\iff 30=a.10000+5$

$\iff 10000a=25$

$\iff a=\frac{1}{400}$ (thỏa mãn điều kiện)

Suy ra Parabol có dạng: $y=\frac{1}{400}{x}^2+5$.

Mà đoạn $AB$ được chia làm $8$ phần bằng nhau nên mỗi phần $25m$

Khi đó tổng độ dài cáp treo bằng $OC+2y_1+2y_2+2y_3$

Hay $5+2\left(\frac{1}{400}{.25}^2+5\right)+2\left(\frac{1}{400}{.50}^2+5\right)+2\left(\frac{1}{400}{.75}^2+5\right)=78,75\left(m\right)$.

Vậy tổng độ dài cáp treo là $78,75m$.

Hướng dẫn giải

a) Do $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ và $AM$ là trung tuyến của tam giác $$ABC$$.  

Hơn nữa, $G$ là trọng tâm của tam giác $$ABC$$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.  

Do đó, $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{AB}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}.a^2+\frac{1}{3}.a.a.\cos 60^{\circ }$

$=\frac{1}{2}{a}^2$.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm các học sinh đạt được lần lượt là $a;b;c;d\left(a<b<c<d\right)$ và $a,b,c,d\in \mathbb{N}$

Ta có số trung vị: $Q_2=\frac{b+c}{2}=14\Rightarrow b+c=28$

Mà $\overline{x}=14\Rightarrow a+b+c+d=56\Rightarrow a+d=28$

Ta có $\{\begin{array}{c}a<b<c\\ b+c=28\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}10<b<14\\ 2b<28\end{array}$ hay $10<b<14$ mà $b\in \mathbb{N}\Rightarrow b\in \left\{11;12;13\right\}$

+ Nếu $b=11$ thì $c=17$, mà $10\le a<b,a\in \mathbb{N}\Rightarrow a=10;d=18$

Khi đó điểm các em đạt được lần lượt là $10;11;17;18$

+ Nếu $b=12$ thì $c=16$ mà $10\le a<b,a\in \mathbb{N}\Rightarrow [\begin{array}{l}a=10\Rightarrow d=18\\ a=11\Rightarrow d=17\end{array}$  

Khi đó điểm các học sinh đạt được có thể là là: $10;12;16;18$ hoặc $11;12;16;17$.

+ Nếu $b=13$ thì $c=15$, mà $10\le a<b,a\in \mathbb{N}\Rightarrow [\begin{array}{l}a=10\Rightarrow d=18\\ a=11\Rightarrow d=17\\ a=12\Rightarrow d=16\end{array}$

Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là: $10;13;15;18$ hoặc $11;13;15;17$ hoặc $12;13;15;16$.

Vì khoảng biến thiên bằng $4$ nên số điểm các em đạt được là: $12;13;15;16$.