Đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 8 (có đáp án)

Ta có: $x^2-16>0\iff \left(x-4\right)\left(x+4\right)>0\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x-4>0\\ x+4>0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x-4<0\\ x+4<0\end{array}\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x>4\\ x>-4\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x<4\\ x<-4\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x>4\\ x<-4\end{array}$.

$\Rightarrow A=\left(-\infty ;-4\right)\cup \left(4;+\infty \right)$.

Lại có: $\left|x\right|\le 10\iff -10\le x\le 10$ $\Rightarrow B=\left[-10;10\right]$.

Do đó, $A\cap B=\left(\left(-\infty ;-4\right)\cup \left(4;+\infty \right)\right)\cap \left[-10;10\right]=\left[-10;-4\right)\cup \left(4;10\right]$.

Để $C\subset \left(A\cap B\right)$ thì $\{\begin{array}{l}m-3>4\\ m<12\end{array}\iff 7<m<12$.

Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là: $160x+110y$

với $x$,$y$ thỏa mãn: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,1\end{array}$.

Số đơn vị protein có trong$x$ kg thịt bò và $y$ kg thịt lợn là: $800x+600y$.

Vì gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein nên $800x+600y\ge 900$$\iff 8x+6y\ge 9$.

Số đơn vị lipit có trong$x$  kg thịt bò và $y$ kg thịt lợn là: $200x+400y$.

Vì gia đình cần ít nhất 400 đơn vị lipit nên $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$.

Tổng số tiền phải trả khi mua $x$ kg thịt bò và $y$ kg thịt lợn là: $$T=160x+110y$$ (nghìn đồng).

Bài toán trở thành: Tìm $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,1\\ 8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\end{array}$ sao cho $$T=160x+110y$$ nhỏ nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ $$Oxy$$ như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác $ABCD$ với tọa độ các đỉnh: $A\left(1,6;1,1\right)$; $B\left(1,6;0,2\right)$; $C\left(0,6;0,7\right)$; $D\left(0,3;1,1\right)$.

Tính giá trị của biểu thức $T$ tại các đỉnh của tứ giác ta được:

Tại $A\left(1,6;1,1\right)$: $T\left(1,6;1,1\right)=160\cdot 1,6+110\cdot 1,1=377$ nghìn đồng;

Tại $B\left(1,6;0,2\right)$: $T\left(1,6;0,2\right)=160\cdot 1,6+110\cdot 0,2=278$ nghìn đồng;

Tại $C\left(0,6;0,7\right)$: $T\left(0,6;0,7\right)=160\cdot 0,6+110\cdot 0,7=173$ nghìn đồng;

Tại $D\left(0,3;1,1\right)$: $T\left(0,3;1,1\right)=160\cdot 0,3+110\cdot 1,1=169$ nghìn đồng.

Biểu thức $T$ đạt giá trị nhỏ nhất là 169 tại $\left(x;y\right)=\left(0,3;1,1\right)$.

Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì $x=0,3$ và $y=1,1$.

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông $AHB$, ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2=4^2+20^2=416\Rightarrow AB=\sqrt{416}$ (m).

Lại có: $\sin \widehat{HAB}=\frac{HB}{AB}=\frac{20}{\sqrt{416}}\Rightarrow \widehat{HAB}\approx 79^{\circ }$(do góc này nhọn).

Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{HAB}\approx 79^{\circ }$ (do cùng phụ với góc $ABH$).

Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ }-\left(\widehat{CAB}+\widehat{ABC}\right)\approx 180^{\circ }-\left(45^{\circ }+79^{\circ }\right)=56^{\circ }$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có $\frac{CB}{\sin \widehat{CAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$.

$\Rightarrow CB=\frac{AB\sin \widehat{CAB}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{\sqrt{416}\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 56^{\circ }}\approx 17,4$.

Vậy cây cao khoảng 17,24 m.

Từ giả thiết $M$ là điểm trên đoạn $BC$ sao cho $$MB=2MC$$ nên ta có $$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$$.

Đặt $$AB=x;AC=y$$ ta có $$x^2+y^2=4a^2$$ (1) (Tam giác $ABC$ vuông tại $A$)

Mặt khác từ $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$.

Nên có $$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=a^2\iff \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=a^2$$

$$\iff \frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^2=a^2\left(\mathrm{Do}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0\right)$$

$$\iff \frac{1}{3}{y}^2-\frac{2}{3}{x}^2=a^2(2)$$

Từ (1) và (2) ta có $$y=\frac{a\sqrt{33}}{3}$$. Vậy $$AC=\frac{a\sqrt{33}}{3}$$.