Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều – Đề 2 (có đáp án)

a) Nếu có thêm $x$ người khách thì số khách là $20+x$ (người). Vì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách, khi đó giá vé của mỗi người là:

$300000-x.10000=300000-10000x$ (đồng).

Theo đó, doanh thu của công ty là:

$\left(20+x\right)\left(300000-10000x\right)=-10000x^2+100000x+6000000$.

b) Lợi nhuận của công ty là:

$\left(-10000x^2+100000x+6000000\right)-4000000=-10000x^2+100000x+2000000$

Xét tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-10000x^2+100000x+2000000$, ta thấy $f\left(x\right)$ có hai nghiệm là $x_1=-10,x_2=20$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau:

Công ty lãi khi $f\left(x\right)>0$, tức là $-10<x<20$. Vì x ≥ 0 nên ta có $0\le x<20$.

Vậy số khách từ người thứ 21 trở lên có ít hơn 20 người thì công ty có lãi.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

A đến bản \ (ảnh 1)">

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}$

$\iff 144=A{B}^2+64-16\cdot AB\cdot \cos 65^{\circ }$

 $$\iff A{B}^2-16\cdot AB\cdot \cos 65^{\circ }-80=0\iff [\begin{array}{l}AB\approx 13\\ AB\approx -6,18(L)\end{array}$$

Do đó: $AB=13$km.

Ta có:$AC+BC-AB=12+8-13=7$ (km).

Vậy số tiền phải tốn thêm là $7\cdot 150000=1050000$ (đồng).

Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\Rightarrow {\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)}^2={\left(3\overrightarrow{MG}\right)}^2$

$\Rightarrow {\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2+2\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}\right)=9M{G}^2$.

Mà:

${\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

$={\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$

$=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2+2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot \left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3M{G}^2+3G{A}^2+2\cdot \overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{0}$

$=3M{G}^2+3G{A}^2$

Do đó, $3M{G}^2+3G{A}^2+2\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}\right)=9M{G}^2$

Ta có:

Gọi $AH$ là đường cao cũng là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$.

Khi đó, $HB=HC=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2\Rightarrow A{H}^2=A{B}^2-H{B}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{3}a}{2}$.

Do điểm $M$ là điểm bất kì thuộc đường tròn tâm $G$ có bán kính bằng $\frac{a\sqrt{2}}{3}$ nên $MG=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên độ dài đường cao bằng độ dài đường trung tuyến và bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $G$ là trọng tâm nên $GA=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Thay số ta có:

$3\cdot {\left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+3\cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+2\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}\right)=9\cdot {\left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2$

$\iff 3\cdot \frac{2a^2}{9}+3\cdot \frac{3a^2}{9}+2\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}\right)=9\cdot \frac{2a^2}{9}$

$\iff 2\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}\right)=\frac{18a^2}{9}-\frac{6a^2}{9}-\frac{9a^2}{9}$

$\iff 2\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}\right)=\frac{3a^2}{9}$

$\iff \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}=\frac{a^2}{6}$ (đpcm).