Đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều – Đề 3 (có đáp án)

Gọi số bưởi loại II cô Liên chọn là $x$ (quả), số bưởi loại I cô Liên chọn là $y$ (quả).

Chi phí cho giỏ quà là: $80000x+400000y$ (đồng)

Chi phí này không được phép vượt quá mức chi tối đa là 1 600 000 đồng nên ta có: $80000x+400000y\le 1600000\iff x+5y\le 20\iff x+5y-20\le 0$.

Do số bưởi loại I phải chọn tối đa là 4 quả, số bưởi loại II ít nhất phải chọn là 5 quả nên $x\ge 5$ và $y\le 4$.

Đồng thời, do $x$, $y$ là số quả bưởi nên $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Số tiền lãi của giỏ quà là: $2000x+10000y$.

Để có khả năng thu được lãi cao nhất, ta phải xác định $x$, $y$ sao cho $M\left(x;y\right)=2000x+10000y$ đạt giá trị lớn nhất với $x$, $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+5y-20\le 0\\ x\ge 5\\ 0\le y\le 4\end{array}$   (*)

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $d:x+5y-20=0$, $d^{\prime }:x=5$, $d^{\prime \prime }:y=4$

Khi đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tam giác không tô màu trong hình vẽ dưới đây:

Giá trị lớn nhất của $M\left(x;y\right)=2000x+10000y$ đạt được tại một trong các điểm đỉnh của miền tam giác, đó là các điểm $\left(5;3\right)$, $\left(5;0\right)$; $\left(20;0\right)$.

Ta có:

$M\left(5;3\right)=40000$

$M\left(5;0\right)=10000$

$M\left(20;0\right)=40000$

Vậy giá trị lớn nhất của $M\left(x;y\right)=2000x+10000y$ là 40 000 (đồng) tại điểm $\left(5;3\right)$ hoặc $\left(20;0\right)$.

Vậy để thu được lãi cao nhất cô liên có hai cách chọn bưởi, cách thứ nhất là chọn 5 quả bưởi loại II và 3 quả bưởi loại I, cách thứ hai là chọn 20 quả bưởi loại II và không chọn bưởi loại I.

Hướng dẫn giải

Tập hợp $A=\left(-\infty ;m+1\right]$ và $B=\left(-2;+\infty \right)$

a) Với $m=2$ ta có $A=\left(-\infty ;3\right]$ và $B=\left(-2;+\infty \right)$

Ta có:

Vậy tập \(A \cap B = \left( { - 2;\,3} \right]\).

b) Để $A\cap B=\varnothing$ thì $m+1\le -2\iff m\le -3$

Vậy $m\le -3$ thì $A\cap B=\varnothing$.

Kí hiệu như hình vẽ trên với $A$, $C$ lần lượt là đỉnh và chân của tòa nhà; $B$ và $D$ lần lượt là đỉnh và gốc của cây.

Xét tam giác $ABC$

Do $\{\begin{array}{l}\widehat{BCD}=24^{\circ }\\ \widehat{BCD}+\widehat{ACB}=90^{\circ }\end{array}\Rightarrow \widehat{ACB}=66^{\circ }$.

Do $\{\begin{array}{l}\widehat{xAB}=60^{\circ }\\ \widehat{xAB}+\widehat{CAB}=90^{\circ }\end{array}\Rightarrow \widehat{CAB}=30^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{ABC}=180^{\circ }-\left(66^{\circ }+30^{\circ }\right)=84^{\circ }$.

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{BC}{\sin 30^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 84^{\circ }}\Rightarrow BC=\frac{AC\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 84^{\circ }}=\frac{155\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 84^{\circ }}\approx 77,93$ (m).

Xét tam giác $CBD$ vuông tại $D$

Ta có: $\sin \widehat{BCD}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow \sin 24^{\circ }\approx \frac{BD}{77,93}\Rightarrow BD\approx 77,93\cdot \sin 24^{\circ }\approx 31,70$ (m)

Vậy chiều cao của cái cây khoảng 31,70 mét.