Đề thi giữa kì Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

a) Đúng. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ được phát biểu là: “Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì  tam giác $ABC$ có $AB{}^2+A{C}^2=B{C}^2$”.

b) Sai. $P$ là điều kiện đủ để có $Q$.

c) Đúng. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng (định lý Pythagore).

d) Sai. Mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề: “Nếu tam giác $ABC$ có $AB{}^2+A{C}^2=B{C}^2$ thì  tam giác $ABC$  vuông tại $A$” là mệnh đề đúng (định lý Pythagore đảo).

a) Sai. Ta có $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}$.

b) Sai. Ta có $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow \sin A=\frac{BC\cdot \sin B}{AC}=\frac{12\cdot \sin 45°}{10}=\frac{3\sqrt{2}}{5}$.

c) Đúng. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ABC$ là: $R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{10}{2\cdot \sin 45°}=5\sqrt{2}$.

d) Sai. Ta có $2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow 2R=\frac{3BC}{3\sin A}=\frac{2AC}{2\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$.

Suy ra $R=\frac{3BC-2AC-AB}{2\left(3\sin A-2\sin B-\sin C\right)}\Rightarrow \frac{3BC-2AC-AB}{6\sin A-4\sin B-2\sin C}=R=5\sqrt{2}$.

Gọi x là số học sinh giải được cả 3 bài toán.

       a là số học sinh chỉ làm được bài toán thứ nhất và thứ ba.

       b là số học sinh chỉ làm được bài toán thứ nhất và thứ hai.

Khi đó:

       Số học sinh chỉ làm được bài toán thứ ba là: 15 – a – x – 3 = 12 – x – a (học sinh).

       Số học sinh chỉ làm được bài toán thứ hai là: 14 – b – x – 3 = 11 – x – b (học sinh).

Theo đề ta có phương trình: x + a + b + 3 + 12 + 12 – x – a + 11 – x – b = 35. Do đó x = 3.

Vậy có 3 học sinh giải được cả 3 bài toán.

Gọi số bộ sản phẩm loại $$I$$ sản xuất trong một ngày là $$x,\left(x\ge 0,x\in \mathbb{N}\right)$$.

Số bộ sản phẩm loại $$II$$ sản xuất trong một ngày là $$y,\left(y\ge 0,y\in \mathbb{N}\right)$$.

Số lãi thu được là $$L=5x+4y$$ (triệu đồng).

Số giờ làm việc của máy là $$3x+3y$$ (giờ).

Số giờ làm việc của công nhân là $$2x+y$$ (giờ).

Theo giả thiết: Một ngày máy làm việc không quá $$15$$ giờ, nhân công làm việc không quá $$8$$ giờ nên ta có hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}3x+3y\le 15\\ 2x+y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là

Tính các giá trị của biểu thức $$L=5x+4y$$ tại các đỉnh của tứ giác là miền nghiệm của hệ bất phương trình trên ta được

$$\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\Rightarrow L=0$$;

$$\left(x;y\right)=\left(4;0\right)\Rightarrow L=20$$;

$$\left(x;y\right)=\left(3;2\right)\Rightarrow L=23$$;

$$\left(x;y\right)=\left(0;5\right)\Rightarrow L=20$$.

Vậy số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày là $$23$$ triệu đồng.

Dùng công thức Heron ta tính được diện tích của tam giác là $S_1=\frac{3\sqrt{91}}{4}$ (m2).

Ta có $S_1=pr$ nên ta tính được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là $r=\frac{3\sqrt{91}}{26}$ (m).

Tính được diện tích hình tròn là $S_2=\pi r^2=\frac{63\pi }{52}$ (m2).

Diện tích cần sơn là $S=S_1-S_2=\frac{3\sqrt{91}}{4}-\frac{63}{52}\pi \approx 3,348$ (m2).

Số tiền cần bỏ ra bằng $S\cdot 250\approx 837$ nghìn đồng.