Đề thi giữa kì Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 1 (có đáp án)

a) Đúng. Mệnh đề đảo của mệnh đề “$P\Rightarrow Q$” là mệnh đề “$Q\Rightarrow P$” và được phát biểu là: “Nếu $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình vuông”.

b) Sai. Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương với nhau.

c) Sai. Mệnh đề $P\iff Q$ là mệnh đề đúng.

d) Đúng. Vì $P$ và $Q$ tương đương nên $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$.

a) Đúng. Ta có $\sin \alpha =\frac{1}{3}>0$.

Do $90°<\alpha <180°$ nên $\cos \alpha <0$. Vậy giá trị $\sin \alpha \cdot \cos \alpha <0$.

b) Đúng. Vì $\cos \alpha <0$, mà ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, suy ra $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

c) Sai. Ta có $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

d) Đúng. Ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{4}}=-2\sqrt{2}.$

Vậy $$\frac{6\sin \alpha +3\sqrt{2}\cos \alpha }{2\sqrt{2}\tan \alpha +\sqrt{2}\cot \alpha }=\frac{6\cdot \frac{1}{3}+3\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}{2\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\sqrt{2}\cdot \left(-2\sqrt{2}\right)}=\frac{2}{5}$$.

Do $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác) nên ta có: $\{\begin{array}{l}\cos \left(B+C\right)=-\cos A\\ \sin \left(B+C\right)=\sin A\end{array}$.

Vậy $P=\sin A\cdot \cos \left(B+C\right)+\cos A\cdot \sin \left(B+C\right)=\sin A\cdot \left(-\cos A\right)+\cos A\cdot \sin A$

$=-\sin A\cdot \cos A+\cos A\cdot \sin A=0$.

Số học sinh tham gia môn điền kinh hoặc môn bóng đá là: $40-16=24$ (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn điền kinh là $24-14=10$ (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn bóng đá là  $24-18=6$ (học sinh).

Vậy số học sinh chỉ tham gia một trong hai môn là $10+6=16$ (học sinh).

Gọi số xe loại A cần thuê là $x\left(x\ge 0\right)$.

Số xe loại B cần thuê là $y\left(y\ge 0\right),x,y\in \mathbb{N}$.

Số người có thể chở tối đa là: $20x+10y$ (người).

Số tấn hàng có thể chở tối đa là: $0,5x+2y$ (tấn).

Theo đề bài, ta có:

- Cần chở ít nhất 100 người: $20x+10y\ge 100$.

- Cần chở ít nhất 6 tấn hàng: $0,5x+2y\ge 6$.

- Có 8 chiếc xe loại A và 6 chiếc xe loại B: $x\le 8$, $y\le 6$.

- Chi phí bỏ ra: $F\left(x;y\right)=4x+3y$ (triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{c}20x+10y\ge 100\\ 0,5x+2y\ge 6\\ 0\le x\le 8\\ 0\le y\le 6\end{array}$$$$\iff \{\begin{array}{c}2x+y\ge 10\\ x+4y\ge 12\\ 0\le x\le 8\\ 0\le y\le 6\end{array}$$ (I).

Bài toán trở thành tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình (I) để $F\left(x;y\right)=4x+3y$ nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác ABCD kể cả biên.

Toạ độ 4 đỉnh của miền nghiệm là: $A\left(4;2\right)$, $B\left(8;1\right)$, $C\left(8;6\right)$, $D\left(2;6\right)$.

Suy ra $F\left(x;y\right)=4x+3y$ đạt GTNN bằng 22 tại$\left(4;2\right)$.

Vậy doanh nghiệp nên thuê 4 xe loại A và 2 xe loại B để chi phí thấp nhất, và chi phí thấp nhất là 22 triệu đồng.

Có $\widehat{CAH}={\alpha }_1=30°,\widehat{CBH}={\beta }_1=70°\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBH}-\widehat{CAH}=40°$.

Áp dụng định lí sin vào $∆ABC$, ta có: $\frac{BC}{\sin \widehat{CAH}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}\Rightarrow BC=\frac{20\sin 30°}{\sin 40°}$.

Xét $∆HBC$ vuông tại H, ta có: $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}\Rightarrow CH=BC\sin \widehat{CBH}=\frac{20\sin 30°}{\sin 40°}\cdot \sin 70°$.

Có $\widehat{OAH}={\alpha }_2=50°,\widehat{OBH}={\beta }_2=80°\Rightarrow \widehat{AOB}=30°$.

Áp dụng định lí sin vào $∆ABO$, ta có: $\frac{BO}{\sin \widehat{OAH}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\Rightarrow BO=\frac{20\sin 50°}{\sin 30°}$.

Xét $∆HBO$ vuông tại H, ta có: $\sin \widehat{OBH}=\frac{HO}{BO}\Rightarrow HO=BO\sin \widehat{OBH}=\frac{20\sin 50°}{\sin 30°}\cdot \sin 80°$.

Vậy $h=OC=HO-CH=\frac{20\sin 50°}{\sin 30°}\cdot \sin 80°-\frac{20\sin 30°}{\sin 40°}\cdot \sin 70°\approx \mathrm{15,56}$ (m).