Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

21 câu · Đề giữa kì 2

9/21 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 12 câu còn lại.

Câu 1

Cho $f (x) = a x^{2} + b x + c, (a \neq = 0)$ có $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 2

Cho các bất phương trình $4 x^{2} - 3 x + 9 < 0; x^{2} - 5 x < 0; 4 x - 3 > 0; 4 x^{2} + 1 > x^{3}$ . Số lượng bất phương trình bậc hai một ẩn là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 3

Giá trị $x = 2$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 4

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , tìm tọa tọa độ của $i$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 5

Cho đường thẳng $Δ : {x = 3 - 5 t y = 1 + 4 t$ . Một vectơ chỉ phương của $Δ$ là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 6

Góc $φ$ giữa hai đường thẳng $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ và $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ được xác định theo công thức

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 7

Đường tròn tâm $I (3; - 2)$ và $R = 5$ có phương trình là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 8

Cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ . Tổng khoảng cách từ một điểm $M$ bất kì trên $(E)$ đến hai tiêu điểm là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 9

Tập nghiệm của bất phương trình $- x^{2} + 5 x + 6 > 0$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 10

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $x^{2} + 2 x - 3 = 15 - 5 x$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 11

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho đường thẳng $Δ : {x = 2 + 3 t y = - 1 + t (t \in R)$ và điểm $M (- 1; 6)$ . Phương trình đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $Δ$ là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 12

Trong mặt phẳng $O x y$ , đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A (5; - 1), B (- 3; 7)$ . Đường tròn có đường kính $A B$ có phương trình là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 13

Đề gốc thiếu nội dung câu này, đang bổ sung

Câu này chưa tính điểm. Đáp án sẽ được cập nhật sớm.

Câu 14

Câu tự luận

Trong mặt phẳng $O x y$ , cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 6 = 0$ và hai điểm $A (1; - 1), B (1; 3)$ .

a) Điểm $A$ thuộc đường tròn.

b) Điểm $B$ nằm trong đường tròn.

c) $x = 1$ phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $A$ .

d) Qua $B$ kẻ được hai tiếp tuyến với $(C)$ có phương trình lần lượt là $x = 1$ và $3 x + 4 y - 12 = 0$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Đường tròn $(C)$ có tâm $I (3; - 1); R = 2$ .

a) Ta có $I A = (1 - 3)^{2} + (- 1 + 1)^{2} < s p an > < / s p an >= 2 = R$ . Suy ra điểm $A$ thuộc đường tròn.

b) Ta có $I B = (1 - 3)^{2} + (3 + 1)^{2} = 25 > R$ . Suy ra điểm $B$ nằm ngoài đường tròn.

c) Có $I A = (- 2; 0)$ .

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $A$ đi qua $A (1; - 1)$ và nhận $n = (- 1; 0)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $- (x - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

d) Giả sử tiếp tuyến qua $B$ nhận $n = (a; b)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$a (x - 1) + b (y - 3) = 0$ $\Leftrightarrow a x + b y - a - 3 b = 0 (d)$ .

Vì $d (I, (d)) = R$ $\Leftrightarrow \frac{∣ a .3 + b . ( - 1 ) - a - 3 b ∣}{a ^{2} + b ^{2}} = 2$ $\Leftrightarrow ∣ 2 a - 4 b ∣ = 2 a^{2} + b^{2}$ $\Leftrightarrow ∣ a - 2 b ∣ = a^{2} + b^{2}$

$\Leftrightarrow (a^{2} - 4 ab + 4 b^{2}) = a^{2} + b^{2}$ $\Leftrightarrow - 4 ab + 3 b^{2} = 0$ $\Leftrightarrow b (3 b - 4 a) = 0$ $\Leftrightarrow [b = 0 a = \frac{3}{4} b$ .

TH1: $b = 0$ chọn $a = 1$ . Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là $x - 1 = 0$ .

TH2: Chọn $b = 4 \Rightarrow a = 3$ . Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là $3 x + 4 y - 15 = 0$ .

Câu 15

Câu tự luận

Bất phương trình

x^{2} - 8 x + 16 \leq 0

có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Trả lời: 1

Ta có $x^{2} - 8 x + 16 \leq 0$ $\Leftrightarrow (x - 4)^{2} \leq 0$ mà $(x - 4)^{2} \geq 0$ . Do đó $x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4$ .

Do đó bất phương trình có 1 nghiệm nguyên.

Câu 16

Câu tự luận

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho parabol $(P) : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ . Biết khoảng cách từ tiêu điểm $F$ đến đường thẳng $Δ : x + y - 12 = 0$ bằng $22$ . Tính tổng các giá trị của $p$ thỏa mãn đề bài.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Trả lời: 48

Ta có $F (\frac{p}{2}; 0)$ .

Ta có $d (F, Δ) = \frac{∣ \frac{p}{2} - 12 ∣}{2} = 22$ $\Leftrightarrow \frac{p}{2} - 12 = 4$ $\Leftrightarrow [\frac{p}{2} = 16 \frac{p}{2} = 8$ $\Leftrightarrow [p = 32 p = 16$ .

Do đó tổng các giá trị của $p$ là 48.

Câu 17

Câu tự luận

Một cửa hàng pháo hoa Bộ Quốc Phòng nhân dịp Tết Nguyên Đán đã đồng loạt giảm giá các sản phẩm pháo hoa. Trong đó có chương trình nếu mua một hộp pháo hoa thứ hai trở đi sẽ được giảm 10% so với giá ban đầu. Biết giá hộp đầu là 400000 đồng. Bác An có 5000000 đồng. Hỏi Bác An có thể mua tối đa bao nhiêu hộp pháo.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Trả lời: 13

Nếu một người mua $x$ hộp pháo ( $x$ nguyên dương). Khi đó hộp thứ nhất người đó trả 400000 đồng.

Số hộp pháo còn lại là $x - 1$ và người đó chỉ phải trả $400000 - 10%.400000 = 360000$ đồng/1 hộp.

Vậy số tiền phải trả khi mua pháo được tính theo công thức $400000 + (x - 1) .360000$ .

Số tiền bác An dùng mua pháo phải không quá 5000000 đồng.

Suy ra $400000 + (x - 1) .360000 \leq 5000000$ $\Leftrightarrow x \leq \frac{124}{9}$ .

Do đó bác An có thể mua tối đa là 13 hộp.

Câu 18

Câu tự luận

Trong mặt phẳng tọa độ $(O x y),$ cho điểm $I (- 2; 1)$ và đường thẳng $Δ : 4 x + 3 y + 1 = 0.$ Tìm bán kính của đường tròn có tâm $I$ và cắt đường thẳng $Δ$ tại hai điểm $A, B$ sao cho tam giác $I A B$ vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Trả lời: 1,13

Ta có khoảng cách từ $I$ đến $Δ$ là: $d = \frac{4}{5} .$

Gọi $R$ là bán kính của đường tròn.

Theo giả thiết ta có tam giác $I A B$ vuông cân tại $I$ nên:

$A B = 2 d = \frac{8}{5}; R = I A = \frac{A B . 2}{2} = \frac{4 2}{5} \approx 1, 13.$

Câu 19

Câu tự luận

Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $A (1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $u = (2; 3)$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương trình đường thẳng $d$ có dạng ${x = 1 + 2 t y = 1 + 3 t$ .

Câu 20

Câu tự luận

Người thứ nhất chèo thuyền với vận tốc 6 (km/h) vào bờ biển từ một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $A B = 4 (km)$ . Trên bờ biển, người thứ hai đi xe máy với vận tốc 10 (km/h) từ một nhà kho ở vị trí C cách $B$ một khoảng $B C = 7$ (km) (hình vẽ bên dưới). Xác định vị trí hai người gặp nhau ở vị trí $M$ đến $C$ , biết hai người xuất phát cùng một lúc (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Người thứ nhất chèo thuyền với vận tốc 6 (km/h) vào bờ biển từ một ngọn hải đăng đặt tại vị trí <span class=

A

cách bờ biển một khoảng (ảnh 1)">

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Theo đề ta có $B M = 7 - x$ (điều kiện $0 < x < 7$ )

Xét $Δ A B M$ ta có $A M = A B^{2} + B M^{2} = 4^{2} + (7 - x)^{2}$ .

Theo đề ta có $\frac{4 ^{2} + ( 7 - x ) ^{2}}{6} = \frac{x}{10}$ .

Bình phương hai vế phương trình ta được $\frac{65 - 14 x + x ^{2}}{36} = \frac{x ^{2}}{100}$ $\Leftrightarrow 1625 - 350 x + 25 x^{2} = 9 x^{2}$

$\Leftrightarrow 1625 - 350 x + 16 x^{2} = 0$ $\Leftrightarrow x \approx 15, 2$ hoặc $x \approx 6, 7$ .

Thử lại ta thấy giá trị 6,7 thỏa mãn.

Vậy hai người gặp nhau ở vị trí M cách C một khoảng 6,7 km.

Câu 21

Câu tự luận

Một elip $(E) : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)$ với bán trục lớn $a$ , bán tiêu cự $c$ thì tỉ số $e = \frac{c}{a}$ được gọi là tâm sai của elip. Quỹ đạo của trái đất quay quanh mặt trời là một elip $(E)$ , trong đó mặt trời là một trong các tiêu điểm. Biết khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa mặt trời và trái đất lần lượt là 147 triệu km và 152 triệu km. Tìm tâm sai của elip $(E)$ .

(E) : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

với bán trục (ảnh 1)">

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Theo đề ta có ${a - c = 147 a + c = 152$ $\Leftrightarrow {a = \frac{299}{2} c = \frac{5}{2}$ .

Tâm sai của elip $(E)$ là $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{2} : \frac{299}{2} = \frac{5}{299}$ .