Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là $C_{12}^3$ cách.

b) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là $C_{12}^3=220$ cách.

c) Số cách chọn ra 3 quả cầu chỉ có một màu là $C_8^3+C_3^3=57$ cách.

d) Số cách chọn 3 quả cầu có đủ 3 màu là $C_8^1.C_3^1.C_1^1=24$ cách.

Suy ra số cách chọn 3 quả cầu có đúng hai màu là: $220-24-57=139$ cách.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có $A\left(2;-1\right),B\left(1;1\right)$.

b) $\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$.

c) Ta có $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{2+1+4}{3}=\frac{7}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-1+1+1}{3}=\frac{1}{3}$.

Vậy $G\left(\frac{7}{3};\frac{1}{3}\right)$.

d) Gọi $D\left(a;b\right)$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right),\overrightarrow{DC}=\left(4-a;1-b\right)$.

Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ $\iff \{\begin{array}{l}-1=4-a\\ 2=1-b\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=5\\ b=-1\end{array}$. Suy ra $D\left(5;-1\right)$.

Trả lời: 720

Số cách lập số tự nhiên gồm 5 chữ số khách nhau từ 6 số đã cho là $A_6^5=720$ cách.

Trả lời: 1

Đường thẳng $d_1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\left(3;-6\right)$.

Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(m;-\left(m+1\right)\right)$ suy ra $\overrightarrow{n_2}=\left(m+1;m\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $d_2$.

Để $d_1\perp d_2$ thì $3\left(m+1\right)-6m=0\iff m=1$.

Trả lời: 86

Hệ số $x^3$ trong $x(1-x{)}^4$ là $a=(-1{)}^2{C}_4^2=6$.

Hệ số $x^3$ trong $x^2(2+x{)}^5$ là $b=C_5^1\cdot 2^4=80$.

Vậy hệ số của $x^3$ khi khai triển biểu thức $P(x)$ là $a+b=86$.

Trả lời: 1,53

Vị trí của tàu A tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) ($t\ge 0$) là điểm $M\left(3-35t;-4+25t\right)$.

Vị trí của tàu B tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) ($t\ge 0$) là điểm $N\left(4-30t;3-40t\right)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(1+5t;7-65t\right)$.

Suy ra $MN=\sqrt{{\left(1+5t\right)}^2+{\left(7-65t\right)}^2}=\sqrt{4250t^2-900t+50}=\sqrt{4250{\left(t-\frac{9}{85}\right)}^2+\frac{40}{17}}\ge \sqrt{\frac{40}{17}}\approx 1,53$ km.

Do đó $MN$ nhỏ nhất xấp xỉ bằng 1,53 km khi $t=\frac{9}{85}$ giờ.

Vậy kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng 1,53 km.

Phương trình đường thẳng $d$ có dạng $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1+3t\end{array}$.

Chọn 5 nam sinh từ 7 nam sinh: có $C_7^5$ cách.

Chọn 5 nữ sinh từ 9 nữ sinh: có $C_9^5$ cách.

Khi ghép những học sinh được chọn, ta cần làm hai việc liên tiếp:

- Cố định một vị trí bất kỳ cho 5 nam sinh: có 1 cách.

- Sắp xếp 5 nữ sinh vào 5 vị trí nam sinh được cố định trước đó: có 5! cách. Vậy có $C_7^5\cdot C_9^5\cdot 1\cdot 5!=317520$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Gọi $C\left(x_C;y_C\right)$. Ta có: $\overrightarrow{OC}=\left(x_C;y_C\right),\overrightarrow{AB}=(-2;5)\Rightarrow -3\overrightarrow{AB}=(6;-15)$;

$\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{AB}\iff \{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x}_C=6\\ y_C=-15\end{array}\end{array}.\Rightarrow C(6;-15).$

b) $D$ đối xứng với $A$ qua $C$ hay $C$ là trung điểm của $AD\iff \{\begin{array}{l}{x}_C=\frac{x_A+x_D}{2}\\ y_C=\frac{y_A+y_D}{2}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x}_D=2x_C-x_A=2.6-3=9\\ y_D=2y_C-y_A=2(-15)-(-5)=-25\end{array}\end{array}\Rightarrow D(9;-25).$