Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

a) Đúng. Ta có $$x+2\ge 0\iff x\ge -2$$. Do đó $A=\left[-2;+\infty \right)$.

Ta có $2x-1<0\iff x<\frac{1}{2}$. Do đó $B=\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$.

b) Đúng.

c) Sai. Vì $A\cap B=\left[-2;\frac{1}{2}\right)$.

d) Sai. Ta có $A\cap B=\left[-2;\frac{1}{2}\right)$ nên $A\cap B$ có các phần tử nguyên là $-2;-1;0$. Do đó số phần tử nguyên của tập hợp$A\cap B$ là 3. 

MN=BC. b) $\left|\overrightarrow{MP}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$. c) $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng. d) $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}$. (ảnh 1)">

a) Sai. Do $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN=\frac{1}{2}BC$ và $MN//BC$.

b) Đúng. Điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua $N$ nên $MP=2MN=BC$.

Do đó $\left|\overrightarrow{MP}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$. (1)

c) Sai. Xét nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa $C$, ta có $N$ là trung điểm $AC$ nên $N$ và $C$ cùng phía $AB$ hay cùng phía $MB$, mà $MN//BC$, do đó hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

d) Đúng. Ta có $P$ đối xứng $M$ qua $N$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng, dễ thấy $\overrightarrow{MN}\ne \overrightarrow{0}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng. (2)

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}$.

Giả sử trong mỗi tháng cửa hàng cần làm $$x$$ kệ sách và $$y$$ bàn làm việc $(x,y\in \mathbb{N})$.

Từ giả thiết, ta được hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 5x+10y\le 600\\ 4x+3y\le 240\end{array}$$.

Mỗi tháng khi bán $$x$$ kệ sách và $$y$$ bàn làm việc lợi nhuận thu được là

$$F\left(x;y\right)=400x+750y$$ (nghìn đồng).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $$F\left(x;y\right)$$ khi $$\left(x;y\right)$$ thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác $$OABC$$ với tọa độ các đỉnh $$O\left(0;0\right),A\left(0;60\right),B\left(24;48\right),C\left(60;0\right)$$.

Tính giá trị của biểu thức $$F$$ tại các đỉnh của tứ giác này

$$F\left(0;0\right)=0,F\left(0;60\right)=45000,F\left(24;48\right)=45600,F\left(60;0\right)=24000.$$

So sánh các giá trị thu được của $$F$$ ta được giá trị lớn nhất cần tìm là $$F\left(24;48\right)=45600.$$

Vậy trong mỗi tháng cửa hàng cần làm $$24$$ kệ sách và $$48$$ bàn làm việc để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

A cần phải chuyển động theo hướng nào? b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu $A$ gặp tàu $B$? (ảnh 1)">

a) Gọi thời gian để 2 tàu gặp nhau tại $C$ là $t$ (giờ, $t>0$).

Quãng đường $BC$ là $20t\left(\mathrm{km}\right)$.

Quãng đường $AC$ là $30t\left(\mathrm{km}\right)$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$, ta có

$$\frac{BC}{\sin \alpha }=\frac{AC}{\sin B}\iff \sin \alpha =\frac{BC\cdot \sin B}{AC}=\frac{20t\cdot \sin 124^{\circ }}{30t}\approx 0,5527\Rightarrow \alpha \approx 34^{\circ }$$.

Vậy tàu $A$ chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu $B$ một góc $34^{\circ }$.

b) Xét tam giác $ABC$, ta có $\hat{C}=180^{\circ }-\left(\hat{B}+\hat{A}\right)=180^{\circ }-\left(124^{\circ }+34^{\circ }\right)=22^{\circ }$.

Áp dụng định lí sin, ta có

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}\iff BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}\iff 20t\approx \frac{50\cdot \sin 34^{\circ }}{\sin 22^{\circ }}\iff t\approx 3,73$ (giờ).

Vậy sau khoảng $3,73$ giờ thì tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$.

Ta có tổng lực tác dụng lên vật: ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}$ (với $C$ là điểm sao cho $AMBC$ là hình bình hành).

Khi đó cường độ lực tác dụng lên vật: $\left|{\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2\right|=\left|\overrightarrow{MC}\right|=MC$.

Ta có: $MA=\left|\overrightarrow{MA}\right|=\left|{\vec{F}}_1\right|=400\mathrm{N}$, $$MB=\left|\overrightarrow{MB}\right|=\left|{\vec{F}}_2\right|=300\mathrm{N}$$.

Mặt khác, do $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ nên $AMBC$ là hình chữ nhật.

Khi đó $MC=\sqrt{M{A}^2+M{B}^2}=\sqrt{{400}^2+{300}^2}=500(\mathrm{N})$.

Vậy cường độ của lực tác động lên vật bằng 500 N.