Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) $x^2+y^2-8x-6y=0$$\iff {\left(x-4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$.

Suy ra đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(4;3\right);R=5$.

b) Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $\Delta :x-2y+1=0$ ta được:

$1-2.1+1=0$ (đúng). Do đó $M\left(1;1\right)\in \Delta$.

c) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $$\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)=-\left(-1;2\right)=-\overrightarrow{n}$$.

Suy ra $\overrightarrow{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$.

Mà $d//\Delta$ nên $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của $d$.

d) Vì tiếp tuyến ${\Delta }^{\prime }$ của $\left(C\right)$ song song với $\Delta$ nên ${\Delta }^{\prime }$ có dạng $x-2y+c=0\left(c\ne 1\right)$.

Vì $d\left(I,{\Delta }^{\prime }\right)=R$$\iff \frac{|4-2.3+c|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=5$$\iff \left|-2+c\right|=5\sqrt{5}$

$\iff [\begin{array}{l}-2+c=5\sqrt{5}\\ -2+c=-5\sqrt{5}\end{array}$$\iff [\begin{array}{l}c=5\sqrt{5}+2\\ c=-5\sqrt{5}+2\end{array}$ (thoảm mãn).

Vậy có hai đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right)$ mà song song với $\Delta$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Số phần tử của không gian mẫu bằng $C_{12}^5$.

b) Để lấy được 5 viên bi cùng màu thì 5 viên bi lấy được có màu xanh.

Do đó số phần tử của biến cố “5 viên bi lấy ra cùng màu” là $C_6^5$.

c) Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra không có bi vàng” là $P=\frac{C_{10}^5}{C_{12}^5}=\frac{7}{22}$.

d) Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra có ít nhất một bi vàng” là $P=1-\frac{7}{22}=\frac{15}{22}$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −1

Ta có $-x^2+2\left(m+1\right)x-m^2+m<0,\forall x\in \mathbb{R}$$\iff \{\begin{array}{l}a=-1<0\\ {\Delta }^{\prime }={\left(m+1\right)}^2+\left(-m^2+m\right)<0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}a=-1<0\\ {\Delta }^{\prime }=3m+1<0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=-1<0\\ m<-\frac{1}{3}\end{array}\iff m<-\frac{1}{3}$.

Mà $m$ là số nguyên âm lớn nhất nên $m=-1$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −2

Ta có $\overrightarrow{n_1}=\left(2;3\right)=-\left(-2;-3\right)=-\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $$d$$.

Vì $d^{\prime }//d$ nên $\overrightarrow{n}=\left(-2;-3\right)$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d^{\prime }$.

Do đó $a=-2$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 24

Số miếng nhựa của hộp đồ chơi là: $\mathrm{4.3.2}=24$ (miếng).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3,75

Quỹ đạo của quả bóng là một phần parabol có dạng: $h\left(t\right)=a{t}^2+bt$.

Khi $t=2$ quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 8m.

Suy ra $\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=2\\ 4a+2b=8\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}4a+b=0\\ 4a+2b=8\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=-2\\ b=8\end{array}$. Do đó $h\left(t\right)=-2t^2+8t$.

Khi $h=1,875$ thì $-2t^2+8t=1,875$$\iff t=0,25$ hoặc $t=3,75$.

Vậy khi $t=3,75$ giây thì độ cao của quả bóng khi rơi xuống bằng 1,875 m.

Hướng dẫn giải

Giả sử đường tròn tác động $\left(C\right)$ có phương trình: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $I\left(a;b\right)$.

Vì $\left(C\right)$ đi qua hai điểm $K\left(-3;10\right)$ và $N\left(8;0\right)$ nên ta có $\{\begin{array}{l}6a-20b+c=-109\\ -16a+c=-64\end{array}$ (1).

Lại có $IG=4\sqrt{10}$ nên ${\left(9-a\right)}^2+{\left(-\frac{17}{4}-b\right)}^2=160$ (2).

Từ $\{\begin{array}{l}6a-20b+c=-109\\ -16a+c=-64\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{c+64}{16}\\ b=\frac{11c}{160}+\frac{133}{20}\end{array}$ thay vào (2), ta được

$${\left(9-\frac{c+64}{16}\right)}^2+{\left(-\frac{17}{4}-\frac{11c}{160}-\frac{133}{20}\right)}^2=160$$$\iff {\left(5-\frac{c}{16}\right)}^2+{\left(\frac{109}{10}+\frac{11c}{160}\right)}^2=160$

$\iff 25-\frac{10}{16}c+\frac{c^2}{256}+\frac{11881}{100}+\frac{1199}{800}c+\frac{121}{25600}{c}^2=160$$\iff \frac{221}{25600}{c}^2+\frac{699}{800}c-\frac{1619}{100}=0$

$\iff c=16$ hoặc $c=\frac{-25904}{221}$.

Vì $I$ có hoành độ dương nên $c=16$. Suy ra $\{\begin{array}{l}a=5\\ b=\frac{31}{4}\end{array}$.

Do đó bán kính của đường tròn $\left(C\right)$ là $R=\sqrt{5^2+{\left(\frac{31}{4}\right)}^2-16}\approx 8,31$ km.

Hướng dẫn giải

Ta có ${\left(2x^2-1\right)}^4={\left(2x^2\right)}^4-4.{\left(2x^2\right)}^3+6.{\left(2x^2\right)}^2-4.2x^2+1$

$=16x^8-32x^6+24x^4-8x^2+1$.

Suy ra $x{\left(2x^2-1\right)}^4=16x^9-32x^7+24x^5-8x^3+x$.

Hệ số của $x^5$ trong khai triển bằng 24.

Hướng dẫn giải

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu $\Rightarrow n\left(\Omega \right)=C_{30}^{10}$.

Gọi $A$ là biến cố “Chọn được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10”.

Từ 1 đến 30 có 15 số lẻ, 12 số chẵn không chia hết cho 10 và 3 số chia hết cho 10.

Lấy ra 5 thẻ mang số lẻ có $C_{15}^5$ cách.

Lấy ra 4 thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 có $C_{12}^4$ cách.

Lấy ra 1 thẻ mang số chia hết cho 10 có 3 cách.

Do đó $n\left(A\right)=3C_{15}^5{C}_{12}^4$.

Suy ra $P\left(A\right)=\frac{3C_{15}^5{C}_{12}^4}{C_{30}^{10}}=\frac{99}{667}$.