Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới – Đề 5 (có đáp án)

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là: $T\left(n\right)=n\left(360-10n\right)=360n-10n^2$.

Đây là một tam thức bậc hai với ẩn là $n$ có hệ số $a=-10<0$ và $b=360$ $\Rightarrow \frac{-b}{2a}=\frac{-360}{2.\left(-10\right)}=18$

Khi đó $T\left(18\right)=3240$.

Vậy người nuôi cần thả $18$ con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất là $3240$ (đơn vị khối lượng).

Điều kiện: $\left(4-x\right)\left(x+2\right)\ge 0\iff x\in \left[-2;4\right]$.

$x^2-2x-8=4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}$$\iff x^2-2x-8=4\sqrt{-\left(x^2-2x-8\right)}\left(1\right)$.

Đặt $t=\sqrt{-\left(x^2-2x-8\right)}$, $t\ge 0$ $\iff t^2=-\left(x^2-2x-8\right)$$\iff x^2-2x-8=-t^2$.

$\left(1\right)\iff -t^2=4t$$\iff t^2+4t=0$$\iff [\begin{array}{l}t=0\left(n\right)\\ t=-4\left(l\right)\end{array}$$\iff \sqrt{-\left(x^2-2x-8\right)}=0$$\iff -\left(x^2-2x-8\right)=0$$\iff [\begin{array}{l}x=-2\left(n\right)\\ x=4\left(n\right)\end{array}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Phương trình parabol có dạng $y^2=2px$, với $p>0$.

Ta có $\left(P\right):y^2=2x$$\Rightarrow p=1$. Suy ra đường chuẩn $\Delta :x=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow x+\frac{1}{2}=0$.

Ta lại có $\{\begin{array}{l}M\left(a;b\right)\in \left(P\right)\\ d\left(M,\Delta \right)=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{b}^2=2a\\ \left|a+\frac{1}{2}\right|=2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{b}^2=2a\\ a+\frac{1}{2}=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\\ b^2=3\end{array}$

Suy ra $T=a^2+b^2=\frac{21}{4}$.

Trục lớn: $2a=60\Rightarrow a=30$.

Trục bé: $2b=30\Rightarrow b=15$.

Diện tích hình tròn: $S_T=\pi .15^2$, diện tích elip là $S_E=\pi .15.30$.

Tỉ số diện tích $T=\frac{S_T}{S_E-S_T}=\frac{\pi {.15}^2}{\pi .15.30-\pi {.15}^2}=\frac{15}{30-15}=1$.

Trường hợp 1: Lấy $1$ quả màu vàng và $2$ quả màu đỏ có: $C_8^2=28$ cách.

Trường hợp 2: Lấy $1$ quả màu vàng và $2$ quả màu xanh có: $C_3^2=3$ cách.

Trường hợp 3: Lấy $1$ quả màu đỏ và $2$ quả màu xanh có: $C_8^1.C_3^2=24$ cách.

Trường hợp 4: Lấy $1$ quả màu xanh và $2$ quả màu đỏ có: $C_3^1.C_8^2=84$ cách.

Số cách để lấy được $3$ quả cầu có đúng hai màu là: $28+3+24+84=139$ cách.

Cách khác:

Số cách lấy $3$ quả bất kì: $C_{12}^3=220$.

Số cách lấy $3$ quả có đủ $3$ màu: $C_8^1.C_3^1.C_1^1=24$.

Số cách lấy $3$ quả chỉ có $1$ màu: $C_8^3+C_3^3=57$.

Vậy số cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán là $220-24-57=139$.

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left(n\in {\mathrm{N}}^{\ast },n\le 28\right)$. Suy ra số học sinh nam là $30-n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì $3$học sinh từ $30$ học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố Chọn được $2$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ .

Chọn $2$ nam trong $30-n$ nam, có$C_{30-n}^2$ cách.

Chọn $1$ nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=C_{30-n}^2.C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố$A$ là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}$.

Theo giả thiết, ta có $P\left(A\right)=\frac{12}{29}\iff \frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}=\frac{12}{29}\Rightarrow n=14$.

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$ học sinh.