Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 3 (có đáp án)

Gọi tổng số vận động viên tham gia giải đấu là: $n(n\in \mathbb{N}\ast ,n>2)$.

Số vận động viên nam tham gia giải đấu là: $n-2$.

Số ván cờ các vận động viên nam chơi với nhau là: $2.C_{n-2}^2=2.\frac{\left(n-2\right)!}{2!.\left(n-4\right)!}=(n-2)(n-3)$.

Số ván cờ các vận động viên nam chơi với 2 vận động viên nữ là: $2.(n-2).2=4(n-2)$.

Theo đề bài ta có: $(n-2)(n-3)-4(n-2)=66\iff n^2-9n-52=0\iff [\begin{array}{c}n=13\left(t/m\right)\\ n=-4\left(loai\right)\end{array}$

Vậy có 13 vận động viên tham dự giải và có tất cả $2.C_{13}^2=156$ ván cờ.

Tổng số học sinh là $40$ học sinh nên dãy số liệu trên khi sắp xếp theo thứ tự không giảm là: $3$; $3$; $4$; $4$; $4$; $5$; $5$; $5$; $5$; $5$; $5$; $5$; $6$; $6$; $6$; $6$; $6$; $6$; $6$; $6$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $7$; $8$; $8$; $8$; $8$; $8$; $8$; $9$; $9$; $9$; $9$; $10$.

Vị trí thứ $20$ là $6$ và vị trí thứ $21$ trong dãy số liệu là $7$ nên trung vị là $$\frac{6+7}{2}=6,5$$.

Ta có ${\Delta }_m:\left(m-2\right)x+\left(m+1\right)y-5m+1=0\iff m\left(x+y-5\right)+\left(-2x+y+1\right)=0$

Khi đó, ${\Delta }_m$ luôn đi qua điểm cố định $M\left(2;3\right)$.

Gọi $d=d\left(A,{\Delta }_m\right)=AH,H\in {\Delta }_m$ $\Rightarrow d\le AM$.

$\Rightarrow d$ lớn nhất khi $H\equiv M$ hay $M$ là hình chiếu của $A$ trên $\Delta$.

Ta có $\overrightarrow{AM}\left(5;-6\right)$ và ${\Delta }_m$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left(m+1;2-m\right)$.

Đường thẳng $AM\perp {\Delta }_m$ $\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0$

$\iff 5\left(m+1\right)-6\left(2-m\right)=0\iff 11m-7=0\iff m=\frac{7}{11}\Rightarrow S=2a-b=2.7-11=3$.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau là $\overline{abcd};a\ne 0$.

Trường hợp 1: Số được lập có $4$ chữ số chẵn, có $4!=24$ (số).

Trường hợp 2: Số được lập có $1$ chữ số lẻ và $3$ chữ số chẵn:

Chọn 1 số lẻ có 5 cách

Chọn vị trí cho số lẻ có 4 cách

Chọn 3 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 3 vị trí có: $A_4^3$ cách

Suy ra, có $\mathrm{5.4.}{A}_4^3=480$ (số).

Trường hợp 3: Số được lập có 2 chữ số lẻ và $2$ chữ số chẵn,

Chọn vị trí cho hai số lẻ có 3 cách (hai số lẻ xếp vào các vị trí: ac;bd;ad)

Chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí có: $A_5^2$ cách

Chọn 2 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 2 vị trí còn lại có: $A_4^2$ cách

Suy ra, có $3.A_5^2.A_4^2=720$ (số).

Do đó, số các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ là: $24+480+720=1224$.

Không gian mẫu$\Omega \Rightarrow$ $n\left(\Omega \right)=C_{11}^3$

Gọi A: "tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ"

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: $C_6^1\cdot C_5^2=60$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: $C_6^3=20$

Do đó $n\left(A\right)=60+20=80\Rightarrow$$P\left(A\right)=\frac{16}{33}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=16\\ b=33\end{array}\Rightarrow T=a+b=49$

Gọi $$\Omega$$ là không gian mẫu $$\Rightarrow n\left(\Omega \right)=10!$$. Kí hiệu 10 ghế như sau: DXXD XXD XXD

Trong đó: D là ghế đỏ (dành cho nam) và X là ghế xanh (dành cho nữ)

Gọi A là biến cố “giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ”

Xếp 4 bạn nam vào ghế đỏ có $$4!$$ (cách)

Xếp mỗi cặp 2 bạn nữ vào 3 ô trống giữa 4 bạn nam có $$A_6^2.A_4^2.A_2^2$$ (cách)

$$\Rightarrow n\left(A\right)=4!.A_6^2.A_4^2.A_2^2=17280$$.

Vậy xác suất cần tìm là $$P\left(A\right)=\frac{17280}{10!}=\frac{1}{210}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ b=210\end{array}\Rightarrow T=2a+b=212$$.