Đề thi Cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

a) Có E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB nên EF là đường trung bình của DABC.

Suy ra \(EF = \frac{1}{2}CB\) mà $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{CB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{EF}$.

b) Ta có $AE=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2};AF=BF=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$.

Có $S_{BEF}=\frac{1}{2}AE.BF=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}$.

c) Dựng điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$.

Dựng hình chữ nhật AMNF.

Ta có $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{AN}\right|$$=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(2a\right)}^2}=\frac{\sqrt{17}a}{2}$.

d) Ta có $\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}$$=\left(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}\right)$$=\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$$=-\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}$

$=-\left|\overrightarrow{AE}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos 0^{\circ }-\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AF}\right|.\cos 0^{\circ }$$=-\frac{a}{2}.a.-a.\frac{a}{2}$$=-a^2$.

Khi đó $\cos \left(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{CF}\right)=\frac{\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}}{\left|\overrightarrow{BE}\right|.\left|\overrightarrow{CF}\right|}=\frac{-a^2}{\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}.\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}}=\frac{-a^2}{\frac{5}{4}{a}^2}=-\frac{4}{5}$.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;  c) Sai;  d) Sai.

a) Bề lõm của đồ thị quay xuống dưới nên $a<0$.

b) Đồ thị hàm số đã cho có tọa độ đỉnh $I\left(-1;4\right)$.

c) Với $x\in \left(-3;1\right)$ thì phần đồ thị nằm phía trên trục hoành nên $f\left(x\right)>0$.

d) Có $f\left(1\right)=0\iff a+b+c=0$.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;  c) Đúng;  d) Đúng.

$A=\left\{x\in \mathbb{Z}|-3\le x\le 5\right\}=\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5\right\};$$B=\left\{x\in \mathbb{R}|x\le 2\right\}=\left(-\infty ;2\right]$.

Suy ra $A\backslash B=\left\{3;4;5\right\}$. Do đó tập hợp $A\backslash B$ có ba số nguyên.

Trả lời: 3.

Gọi $x,y\left(x\ge 0;y\ge 0\right)$ lần lượt là số ha trồng rau và hoa.

Diện tích đất trồng canh tác không vượt quá 8 ha nên ta có $x+y\le 8$.

Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 ngày nên $20x+30y\le 180$.

Theo đề ta có hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 8\\ 20x+30y\le 180\end{array}$.

Ta cần tìm $x,y$ sao cho $F=3x+4y$ lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác OABC kể cả 4 cạnh của tứ giác (phần tô màu) với $O\left(0;0\right),A\left(8;0\right),B\left(6;2\right),C\left(0;6\right)$.

Với $O\left(0;0\right)$ thì F = 0.

Với $A\left(8;0\right)$ thì $F=24$.

Với $B\left(6;2\right)$ thì $F=26$.

Với $C\left(0;6\right)$ thì $F=24$.

Vậy lợi nhuận cao nhất mà gia đình anh Hùng thu được từ trồng rau và hoa là 26 triệu đồng.

Trả lời: 26.

Bình phương hai vế của phương trình ta được $x^2+2x+4=2-x$$\iff x^2+3x+2=0$$\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=-2\end{array}$.

Thay lần lượt hai giá trị của $x$ vào bất phương trình $2-x\ge 0$ đều thỏa mãn.

Do đó phương trình có hai nghiệm nguyên.

Trả lời: 2.

Gọi D là điểm để tứ giác \(MADB\) là hình vuông.

Theo bài ra ta có $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MD}\right|=100\sqrt{2}.\sqrt{2}=200$ N.

Trả lời: 200.

Thay tọa độ điểm $M\left(2;-4\right)$ vào bất phương trình ta được $5.2-2.\left(-4\right)=18\ge 2$ (đúng).

Vậy điểm M thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Thay tọa độ điểm $N\left(-1;3\right)$ vào bất phương trình ta được $5.\left(-1\right)-2.3=-11\ge 2$(vô lý).

Vậy điểm N không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Thay tọa độ điểm $P\left(1;3\right)$ vào bất phương trình ta được $5.1-2.3=-1\ge 2$ (vô lý).

Vậy điểm P không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Thay tọa độ điểm $Q\left(-2;-3\right)$ vào bất phương trình ta được $5.\left(-2\right)-2.\left(-3\right)=-4\ge 2$ (vô lý).

Vậy điểm Q không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Đổi $4km/h=\frac{200}{3}$m/phút; $19km/h=\frac{950}{3}$m/phút.

Có $\hat{C}=180^{\circ }-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)=180^{\circ }-\left(7^{\circ }+5^{\circ }\right)=168^{\circ }$.

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$.

Suy ra $AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{850.\sin 5^{\circ }}{\sin 168^{\circ }}$; $BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{850.\sin 7^{\circ }}{\sin 168^{\circ }}$.

Thời gian đi từ nhà đến trường là $\frac{AC}{\frac{200}{3}}+\frac{BC}{\frac{950}{3}}=\frac{\mathrm{3.850.}\sin 5^{\circ }}{200.\sin 168^{\circ }}+\frac{\mathrm{3.850.}\sin 7^{\circ }}{950.\sin 168^{\circ }}\approx 7$ phút.

Gọi $x$ triệu đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá $\left(0\le x\le 4\right)$.

Khi đó:

Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc tủ lạnh là $31-x-27=4-x$.

Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là $600+200x$.

Lợi nhuận mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là

$f\left(x\right)=\left(4-x\right)\left(600+200x\right)$$\iff f\left(x\right)=-200x^2+200x+2400$.

Xét hàm số $f\left(x\right)=-200x^2+200x+2400$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ có bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)$ bằng 2450 triệu khi $x=\frac{1}{2}$.

Vậy giá mới của chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuân thu được là cao nhất.