Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 8 (có đáp án)

Gọi cạnh hình vuông được uốn thành là $x$ (cm) $\left(0<x<15\right)$.

Chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông hay chính là chu vi của hình vuông là $4x$ (cm).

Chiều dài đoạn dây uốn thành vòng tròn hay chính là chu vi vòng tròn là $60-4x$ (cm). Khi đó bán kính của hình tròn là $r=\frac{60-4x}{2\pi }=\frac{30-2x}{\pi }$ (cm).

Diện tích hình vuông được uốn thành là $S_1=x^2$ (cm2).

Diện tích hình tròn được uốn thành là

$S_2=\pi r^2=\pi .{\left(\frac{30-2x}{\pi }\right)}^2=\frac{{\left(30-2x\right)}^2}{\pi }=\frac{1}{\pi }\left(4x^2-120x+900\right)$ (cm2).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn thành là:

$S=S_1+S_2=x^2+\frac{1}{\pi }\left(4x^2-120x+900\right)=\left(1+\frac{4}{\pi }\right)x^2-\frac{120}{\pi }x+\frac{900}{\pi }$  (cm2).

Nhận thấy $S$ là hàm số bậc hai của $x$, do đó $S$ nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số $S=\left(1+\frac{4}{\pi }\right)x^2-\frac{120}{\pi }x+\frac{900}{\pi }$.

Khi đó, tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn nhỏ nhất khi$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{-120}{\pi }}{2\left(1+\frac{4}{\pi }\right)}=\frac{60}{4+\pi }$ (cm).

Vậy chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông lúc này bằng $4x=4.\frac{40}{4+\pi }\approx 33,61$ (cm).

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm; $\overrightarrow{n}=\left(A;B\right)$ là VTPT của $\Delta$ $\left(A^2+B^2\ne 0\right)$.

Đường thẳng $\left(d\right)$: $x+3y-3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_d}=\left(1;3\right)$.

Để $\Delta$ tạo với $\left(d\right)$ một góc $45^{\circ }$ thì:

$\cos 45^{\circ }=\frac{|A+3B|}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\iff 2{\left(A+3B\right)}^2=10\left(A^2+B^2\right)\iff [\begin{array}{l}A=2B\\ B=-2A\end{array}$ .

+ Với $A=2B$, chọn $B=1\Rightarrow A=2$ ta được phương trình $\Delta :2x+y+4=0$.

+ Với $B=-2A$, chọn $A=1\Rightarrow B=-2$ ta được phương trình $\Delta :x-2y+2=0$.

Từ điều kiện ta có $x^2+y^2=\frac{{\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2}{2}=5-z^2\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2=10-2z^2-{\left(3-z\right)}^2$.

Do đó ${\left(x+y\right)}^2=1+6z-3z^2$.

Dễ thấy $z\ne -2$. Ta có $P.\left(z+2\right)+2=x+y$.

Do đó ${\left[P.\left(z+2\right)+2\right]}^2=1+6z-3z^2$

$\iff {\left(z+2\right)}^2{P}^2+4\left(z+2\right)P+4=1+6z-3z^2$

$\iff \left(P^2+3\right)z^2+\left(4P^2+4P-6\right)z+4P^2+8P+3=0$

Phương trình ẩn $z$ có nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta }_z^{\prime }\ge 0$

$\iff {\left(2P^2+2P-3\right)}^2-\left(P^2+3\right)\left(4P^2+8P+3\right)\ge 0$

$\iff 4P^4+4P^2+9+8P^3-12P^2-12P-\left(4P^4+8P^3+3P^2+12P^2+24P+9\right)\ge 0$

$\iff 23P^2+36P\le 0$

$\iff -\frac{36}{23}\le P\le 0$ (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).

Ta có $P=0$ khi $$x=2,y=0,z=1$$  và $P=-\frac{36}{23}$ khi $x=\frac{20}{31},y=-\frac{66}{31},z=\frac{7}{31}$.

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là 0 tại $$x=2,y=0,z=1$$.