Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 7 (có đáp án)

Đặt độ dài một cạnh của vườn hoa hình chữ nhật là $x$ (m) $\left(0<x<100\right)$. Vì đường chéo hình chữ nhật bằng đường kính của hình tròn nên áp dụng định lí Pythagore ta suy ra độ dài cạnh còn lại của vườn hoa hình chữ nhật đó là $\sqrt{{100}^2-x^2}=\sqrt{10000-x^2}$ (m).

Khi đó, tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa bằng chu vi hình chữ nhật là:

$2\left(\sqrt{10000-x^2}+x\right)=280$  (m).

Giải phương trình $2\left(\sqrt{10000-x^2}+x\right)=280$ (*).

Ta có: $2\left(\sqrt{10000-x^2}+x\right)=280$$\iff \sqrt{10000-x^2}=140-x$

$\Rightarrow 10000-x^2=19600-280x+x^2$

$\iff x^2-140x+4800=0$$\Rightarrow x=80$ hoặc $x=60$.

Thử lại ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm $x=80$ (m) hoặc $x=60$ (m). Nếu $x=80$ (m) thì độ dài cạnh còn lại là 60 m và ngược lại.

Vậy kích thước vườn hoa là 60 × 80 m.

Ta có: $\frac{1}{2}\ne \frac{3}{-5}$, do đó hai đường thẳng $$x+3y-6=0$$ và $$2x-5y-1=0$$ cắt nhau.

Giả sử hình bình hành $ABCD$ có hai cạnh $$AB:x+3y-6=0$$ và $$AD:2x-5y-1=0$$.

Khi đó, tọa độ đỉnh $A$ là nghiệm của hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}x+3y-6=0\\ 2x-5y-1=0\end{array}\Rightarrow A\left(3;1\right)$$.

Vì tâm của hình bình hành là điểm $$I\left(3;5\right)$$ nên $$I$$ là trung điểm của $$AC$$, do đó:

$$\{\begin{array}{l}2x_I=x_A+x_C\\ 2y_I=y_A+y_C\end{array}\iff \{\begin{array}{l}6=3+x_C\\ 10=1+y_C\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_C=3\\ y_C=9\end{array}$$$$\Rightarrow C\left(3;9\right)$$.

Vì $$DC//AB$$ nên phương trình $$DC:x+3y+n=0$$ $\left(n\ne -6\right)$.

$$C\left(3;9\right)\in DC\Rightarrow 3+27+n=0\Rightarrow n=-30$$ (t/m).

$$\Rightarrow$$ Phương trình $$DC:x+3y-30=0$$.

Vì $$BC//AD$$ nên phương trình $$BC:2x-5y+m=0\left(m\ne -1\right)$$.

$$C\left(3;9\right)\in BC\Rightarrow 6-45+m=0\Rightarrow m=39$$ (t/m).

$$\Rightarrow$$ Phương trình $$BC:2x-5y+39=0$$.

Đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-2x+4y-4=0$ có tâm $I\left(1;-2\right)$.

Ta có điểm $M$thuộc $d:x-y+1=0$ nên $M\left(a;a+1\right)$.

Gọi $K$ trung điểm của $MI$thì $K\left(\frac{a+1}{2};\frac{a-1}{2}\right)$.

Vì $\Delta MAI$ và $\Delta MBI$ lần lượt vuông tại $A$ và $B$ (định nghĩa tiếp tuyến)  nên $KA=KB=\frac{1}{2}MI$.

Đường tròn $\left(C^{\prime }\right)$ tâm $K$, đường kính $MI$ nên có phương trình

${\left(x-\frac{a+1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{a-1}{2}\right)}^2=\frac{a^2+2a+5}{2}\iff x^2+y^2-\left(a+1\right)x-\left(a-1\right)y-a-2=0$.

Đường thẳng $AB$  là giao của hai đường tròn $\left(C\right)$ và $\left(C^{\prime }\right)$ nên tọa độ điểm $A,B$ thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2x+4y-4=0\\ x^2+y^2-\left(a+1\right)x-\left(a-1\right)y-a-2=0\end{array}\Rightarrow \left(1-a\right)x-\left(a+3\right)y-a+2=0$.

Suy ra đường thẳng$AB$ có phương trình $\left(1-a\right)x-\left(a+3\right)y-a+2=0$.

Khoảng cách từ $N\left(0;\frac{1}{2}\right)$đến $AB$ là $d\left(N,AB\right)=\frac{|1-3a|}{2\sqrt{{\left(1-a\right)}^2+{\left(a+3\right)}^2}}=1$.

$$\Rightarrow 2\sqrt{2a^2+4a+10}=\left|1-3a\right|$$

$\Rightarrow 4\left(2a^2+4a+10\right)=9a^2-6a+1$

$\iff a^2-22a-39=0\iff a=11\pm 4\sqrt{10}$.

Thử lại ta thấy cả hai giá trị của $a$ đều thỏa mãn.

Vậy $M\left(11+4\sqrt{10};12+4\sqrt{10}\right)$ hoặc $M\left(11-4\sqrt{10};12-4\sqrt{10}\right)$.