Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 8 (có đáp án)

Giả sử phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (trong đó $a>b>0$).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên $OA=12:2=6$ (m) nên điểm $A$ có tọa độ $\left(6;0\right)$.

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên $OB=3$ m, do đó điểm $B$ có tọa độ $\left(0;3\right)$.

Do các điểm $B\left(0;3\right)$ và $A\left(6;0\right)$ thuộc elip nên thay vào phương trình của elip ta được:

$\frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1\Rightarrow b^2=3^2=9$

$\frac{6^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow a^2=6^2=36$

Suy ra phương trình của elip là: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe không quá $3:2=1,5$ m, tương ứng với $x=1,5$. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao $y$ của điểm $M$ (có hoành độ bằng 1,5 thuộc elip) so với trục $Ox$. Ta có: $\frac{{x_M}^2}{36}+\frac{{y_M}^2}{9}=1$.

Suy ra: $y_M=3.\sqrt{1-\frac{x_M^2}{36}}=3.\sqrt{1-\frac{{1,5}^2}{36}}\approx 2,905>2,8$.

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm; $\overrightarrow{n}=\left(A;B\right)$ là VTPT của $\Delta$ $\left(A^2+B^2\ne 0\right)$.

Đường thẳng $\left(d\right)$: $x+3y-3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_d}=\left(1;3\right)$.

Để $\Delta$ tạo với $\left(d\right)$ một góc $45^{\circ }$ thì:

$\cos 45^{\circ }=\frac{|A+3B|}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\iff 2{\left(A+3B\right)}^2=10\left(A^2+B^2\right)\iff [\begin{array}{l}A=2B\\ B=-2A\end{array}$ .

+ Với $A=2B$, chọn $B=1\Rightarrow A=2$ ta được phương trình $\Delta :2x+y+4=0$.

+ Với $B=-2A$, chọn $A=1\Rightarrow B=-2$ ta được phương trình $\Delta :x-2y+2=0$.

Từ điều kiện ta có $x^2+y^2=\frac{{\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2}{2}=5-z^2\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2=10-2z^2-{\left(3-z\right)}^2$.

Do đó ${\left(x+y\right)}^2=1+6z-3z^2$.

Dễ thấy $z\ne -2$. Ta có $P.\left(z+2\right)+2=x+y$.

Do đó ${\left[P.\left(z+2\right)+2\right]}^2=1+6z-3z^2$

$\iff {\left(z+2\right)}^2{P}^2+4\left(z+2\right)P+4=1+6z-3z^2$

$\iff \left(P^2+3\right)z^2+\left(4P^2+4P-6\right)z+4P^2+8P+3=0$

Phương trình ẩn $z$ có nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta }_z^{\prime }\ge 0$

$\iff {\left(2P^2+2P-3\right)}^2-\left(P^2+3\right)\left(4P^2+8P+3\right)\ge 0$

$\iff 4P^4+4P^2+9+8P^3-12P^2-12P-\left(4P^4+8P^3+3P^2+12P^2+24P+9\right)\ge 0$

$\iff 23P^2+36P\le 0$

$\iff -\frac{36}{23}\le P\le 0$ (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).

Ta có $P=0$ khi $$x=2,y=0,z=1$$  và $P=-\frac{36}{23}$ khi $x=\frac{20}{31},y=-\frac{66}{31},z=\frac{7}{31}$.

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là 0 tại $$x=2,y=0,z=1$$.