Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 7 (có đáp án)

Ta có $3x^2-2\left(m+5\right)x-m^2+2m+8=0\iff x=m+2$ hoặc $x=\frac{4-m}{3}$.

* Với $m+2>\frac{4-m}{3}\iff 3m+6>4-m\iff m>-\frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)$\iff \frac{4-m}{3}\le x\le m+2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[\frac{4-m}{3};m+2\right]$

Suy ra mọi $$x\in \left[-1;1\right]$$ đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi $$\left[-1;1\right]\subset \left[\frac{4-m}{3};m+2\right]\iff \{\begin{array}{c}-1\ge \frac{4-m}{3}\\ 1\le m+2\end{array}$$$\iff \{\begin{array}{c}m\ge 7\\ m\ge -1\end{array}\iff m\ge 7$.

Kết hợp với điều kiện $m>-\frac{1}{2}$ ta có $m\ge 7$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với $m+2<\frac{4-m}{3}\iff m<-\frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)$\iff m+2\le x\le \frac{4-m}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[m+2;\frac{4-m}{3}\right]$

Suy ra mọi $$x\in \left[-1;1\right]$$ đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi $$\left[-1;1\right]\subset \left[m+2;\frac{4-m}{3}\right]\iff \{\begin{array}{c}-1\ge m+2\\ 1\le \frac{4-m}{3}\end{array}$$$\iff \{\begin{array}{c}m\le -3\\ m\le 1\end{array}\iff m\le -3$.

Kết hợp với điều kiện $m<-\frac{1}{2}$ ta có $m\le -3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với $m=-\frac{1}{2}$ ta có bất phương trình (1)$\iff x=\frac{3}{2}$  nên $m=-\frac{1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $m\in (-\infty ;-3]\cup [7;+\infty )$ là giá trị cần tìm.

Ta có: $\frac{1}{2}\ne \frac{3}{-5}$, do đó hai đường thẳng $$x+3y-6=0$$ và $$2x-5y-1=0$$ cắt nhau.

Giả sử hình bình hành $ABCD$ có hai cạnh $$AB:x+3y-6=0$$ và $$AD:2x-5y-1=0$$.

Khi đó, tọa độ đỉnh $A$ là nghiệm của hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}x+3y-6=0\\ 2x-5y-1=0\end{array}\Rightarrow A\left(3;1\right)$$.

Vì tâm của hình bình hành là điểm $$I\left(3;5\right)$$ nên $$I$$ là trung điểm của $$AC$$, do đó:

$$\{\begin{array}{l}2x_I=x_A+x_C\\ 2y_I=y_A+y_C\end{array}\iff \{\begin{array}{l}6=3+x_C\\ 10=1+y_C\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_C=3\\ y_C=9\end{array}$$$$\Rightarrow C\left(3;9\right)$$.

Vì $$DC//AB$$ nên phương trình $$DC:x+3y+n=0$$ $\left(n\ne -6\right)$.

$$C\left(3;9\right)\in DC\Rightarrow 3+27+n=0\Rightarrow n=-30$$ (t/m).

$$\Rightarrow$$ Phương trình $$DC:x+3y-30=0$$.

Vì $$BC//AD$$ nên phương trình $$BC:2x-5y+m=0\left(m\ne -1\right)$$.

$$C\left(3;9\right)\in BC\Rightarrow 6-45+m=0\Rightarrow m=39$$ (t/m).

$$\Rightarrow$$ Phương trình $$BC:2x-5y+39=0$$.

Đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-2x+4y-4=0$ có tâm $I\left(1;-2\right)$.

Ta có điểm $M$thuộc $d:x-y+1=0$ nên $M\left(a;a+1\right)$.

Gọi $K$ trung điểm của $MI$thì $K\left(\frac{a+1}{2};\frac{a-1}{2}\right)$.

Vì $\Delta MAI$ và $\Delta MBI$ lần lượt vuông tại $A$ và $B$ (định nghĩa tiếp tuyến)  nên $KA=KB=\frac{1}{2}MI$.

Đường tròn $\left(C^{\prime }\right)$ tâm $K$, đường kính $MI$ nên có phương trình

${\left(x-\frac{a+1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{a-1}{2}\right)}^2=\frac{a^2+2a+5}{2}\iff x^2+y^2-\left(a+1\right)x-\left(a-1\right)y-a-2=0$.

Đường thẳng $AB$  là giao của hai đường tròn $\left(C\right)$ và $\left(C^{\prime }\right)$ nên tọa độ điểm $A,B$ thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2x+4y-4=0\\ x^2+y^2-\left(a+1\right)x-\left(a-1\right)y-a-2=0\end{array}\Rightarrow \left(1-a\right)x-\left(a+3\right)y-a+2=0$.

Suy ra đường thẳng$AB$ có phương trình $\left(1-a\right)x-\left(a+3\right)y-a+2=0$.

Khoảng cách từ $N\left(0;\frac{1}{2}\right)$đến $AB$ là $d\left(N,AB\right)=\frac{|1-3a|}{2\sqrt{{\left(1-a\right)}^2+{\left(a+3\right)}^2}}=1$.

$$\Rightarrow 2\sqrt{2a^2+4a+10}=\left|1-3a\right|$$

$\Rightarrow 4\left(2a^2+4a+10\right)=9a^2-6a+1$

$\iff a^2-22a-39=0\iff a=11\pm 4\sqrt{10}$.

Thử lại ta thấy cả hai giá trị của $a$ đều thỏa mãn.

Vậy $M\left(11+4\sqrt{10};12+4\sqrt{10}\right)$ hoặc $M\left(11-4\sqrt{10};12-4\sqrt{10}\right)$.