Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 6 (có đáp án)

Ta có: $3x^2+5y^2-2x-2xy+1>0$$\iff 3x^2-2\left(y+1\right)x+5y^2+1>0$.

Đặt $f(x)=3x^2-2\left(y+1\right)x+5y^2+1$, xem $y$ là tham số khi đó $$f\left(x\right)$$ là tam thức bậc hai ẩn $$x$$ có hệ số $a_x=3>0$ và $${\Delta }_x^{\prime }={\left(y+1\right)}^2-3\left(5y^2+1\right)=-14y^2+2y-2$$.

Xét tam thức $g\left(y\right)=-14y^2+2y-2$ có hệ số $a_y=-14<0$ và ${\Delta }_y^{\prime }=-27<0$.

Suy ra ${\Delta }_x^{\prime }=g\left(y\right)<0$ với mọi số thực $y$.

Do đó $f\left(x\right)>0$  với mọi số thực $$x,y$$.

Vậy $3x^2+5y^2-2x-2xy+1>0$ (đpcm).

a) Ta có: $2+2.5-2=10\ne 0\Rightarrow M\notin \Delta$.

Đường thẳng $$d$$ qua $$M$$ và vuông góc $$\Delta$$ có dạng: $$2x-y+m=0$$.

Do $$M\left(2;5\right)\in d\Rightarrow 4-5+m=0\Rightarrow m=1$$.

Phương trình $$d:2x-y-1=0$$.

Gọi giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$và $d$ là $H$. Tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}2x-y-1=0\\ x+2y-2=0\end{array}\Rightarrow H\left(\frac{4}{5};\frac{3}{5}\right)$$.

Vì $$M$$ và $$M^{\prime }$$ đối xứng qua $$H$$ nên $$H$$ là trung điểm của $$M{M}^{\prime }$$.

$$\begin{array}{l}{x}_{M^{\prime }}=2x_H-x_M=\frac{8}{5}-2=-\frac{2}{5}\\ y_{M^{\prime }}=2y_H-y_M=\frac{6}{5}-5=-\frac{19}{5}\end{array}\}\Rightarrow M^{\prime }\left(-\frac{2}{5};-\frac{19}{5}\right)$$.

b) Cho $$x=0\Rightarrow 0+2y-2=0\Rightarrow y=1\Rightarrow I\left(0;1\right)\in \Delta$$;

Cho $$x=1\Rightarrow 1+2y-2=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}\Rightarrow J\left(1;\frac{1}{2}\right)\in \Delta$$.

Gọi $$I^{\prime }$$ là điểm đối xứng của $$I$$ qua $$M,J^{\prime }$$ là điểm đối xứng của $$J$$ qua $$M$$

Ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_{I^{\prime }}=2x_M-x_I=4-0=4\\ y_{I^{\prime }}=2y_M-y_I=10-1=9\end{array}\Rightarrow I^{\prime }\left(4;9\right)$$;

          $$\{\begin{array}{l}{x}_{J^{\prime }}=2x_M-x_J=4-1=3\\ y_{J^{\prime }}=2y_M-y_J=10-\frac{1}{2}=\frac{19}{2}\end{array}\Rightarrow J^{\prime }\left(3;\frac{19}{2}\right)$$.

Phương trình $${\Delta }^{\prime }\equiv$$ phương trình $$I^{\prime }{J}^{\prime }:\frac{x-4}{-1}=\frac{y-9}{\frac{1}{2}}\Rightarrow x+2y-22=0$$.

a) Chọn hệ tọa độ sao cho tâm của cái cổng cầu vồng hình bánh nguyệt có tọa độ $\left(0;0\right)$ và đỉnh của cổng có tọa độ $M\left(0;3,4\right)$. 

Cổng hình bán nguyệt là nửa hình tròn với tâm $O\left(0;0\right)$ và bán kính là $R=3,4$ m.

Ta có phương trình mô phỏng của cổng là: $x^2+y^2=3,4^2$$\left(y>0\right)$.

b) Gọi $OABC$ là thiết diện của xe tải. Theo bài ra ta có: $OA=2,4\mathrm{m};OC=2,5\mathrm{m}$.

Từ định lí Pythagore ta suy ra: $OB=\sqrt{O{A}^2+O{C}^2}=\sqrt{{2,4}^2+{2,5}^2}\approx 3,5>R=3,4$ (m).

Vậy nếu đi đúng làn đường quy định thì xe tải không thể đi qua cổng.