Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều – Đề 1 (có đáp án)

Gọi $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$ là số cần tìm

Ta có $a_6\in \left\{1;3;5\right\}$ và $\left(a_1+a_2+a_3\right)-\left(a_4+a_5+a_6\right)=1$

+ Với $a_6=1$ thì $\left(a_1+a_2+a_3\right)-\left(a_4+a_5\right)=2$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}_1;a_2;a_3\in \left\{2;3;6\right\}\\ a_4;a_5\in \left\{4;5\right\}\end{array}$

hoặc $\{\begin{array}{l}{a}_1;a_2;a_3\in \left\{2;4;5\right\}\\ a_4;a_5\in \left\{3;6\right\}\end{array}$.

+ Với $a_6=3$ thì $\left(a_1+a_2+a_3\right)-\left(a_4+a_5\right)=4$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}_1;a_2;a_3\in \left\{2;4;5\right\}\\ a_4;a_5\in \left\{1;6\right\}\end{array}$

hoặc $\{\begin{array}{l}{a}_1;a_2;a_3\in \left\{1;4;6\right\}\\ a_4;a_5\in \left\{2;5\right\}\end{array}$.

+ Với $a_6=5$ thì $\left(a_1+a_2+a_3\right)-\left(a_4+a_5\right)=6$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}_1;a_2;a_3\in \left\{2;3;6\right\}\\ a_4;a_5\in \left\{1;4\right\}\end{array}$

hoặc $\{\begin{array}{l}{a}_1;a_2;a_3\in \left\{1;4;6\right\}\\ a_4;a_5\in \left\{2;3\right\}\end{array}$.

Mỗi trường hợp có $3!.2!=12$ số thỏa mãn yêu cầu

Vậy có tất cả $6.12=72$ số cần tìm.

Gọi $A\left(x_A;y_A\right)$ và $B\left(x_B,y_B\right)$.

Do điểm $M\left(2;2\right)$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}\frac{x_B-1}{2}=2\\ \frac{y_B+2}{2}=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_B=5\\ y_B=2\end{array}\Rightarrow B\left(5;2\right)$.

Do $G\left(3;1\right)$ là trọng tâm của tam giác nên ta có:

$AG=\frac{2}{3}AM\Rightarrow AG=2GM\Rightarrow \overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM}$

Mà: $\overrightarrow{AG}=\left(3-x_A;1-y_A\right)$; $\overrightarrow{GM}=\left(2-3;2-1\right)=\left(-1;1\right)$

Do đó, $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM}\iff \{\begin{array}{l}3-x_A=2\cdot (-1)\\ 1-y_A=2\cdot 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_A=5\\ y_A=-1\end{array}\Rightarrow A\left(5;-1\right)$.

Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(5-5;2-(-1)\right)=\left(0;3\right)$

Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(-3;0\right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A$ và có vectơ pháp tuyến  $\overrightarrow{n}=\left(-3;0\right)$ là $-3\left(x-5\right)+0.\left(y-(-1)\right)=0\iff x-5=0$.

Vì $5=5+0=4+1=3+2=2+2+1=3+1+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$ nên ta có các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 chữ số 0 đứng sau: Có 1 số.

+) Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4, một chữ số 1 và 2016 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 4 đứng đầu thì chữ số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì chữ số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

+) Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 3 đứng đầu thì chữ số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

+) Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $A_{2017}^2$ số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^2$ số.

+) Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số $1$, một chữ số 3 và 2015 chữ số 0 thì tương tự như trường hợp 4 ta có $A_{2017}^2+C_{2017}^2$ số.

+) Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^3$số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà không có chữ số 1 nào khác đứng trước nó thì hai chữ số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có $C_{2016}^2$ số.

- Khả năng 3: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai chữ số 1 thì hai chữ số 1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có $A_{2016}^2$ số.

+) Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và $2013$ chữ số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^4$ số.

Áp dụng quy tắc cộng ta có $1+4C_{2017}^1+2\left(C_{2017}^2+A_{2017}^2\right)+\left(C_{2017}^3+A_{2016}^2+C_{2016}^2\right)+C_{2017}^4$ số cần tìm.