Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 01 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

$\Rightarrow \overrightarrow{HI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{HG}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_I-3=\frac{3}{2}\left(\frac{5}{3}-3\right)\\ y_I-2=\frac{3}{2}\left(\frac{8}{3}-2\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_I=1\\ y_I=3\end{array}\Rightarrow I\left(1;3\right)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow IM\perp BC$ $\Rightarrow IM:2x-y+c=0$.

Vì $I\in IM\Rightarrow 2.1-3+c=0\Rightarrow c=1$

$\Rightarrow IM:2x-y+1=0$

$M=IM\cap BC\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x-y=-1\\ x+2y=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\Rightarrow M\left(0;1\right)$.

Lại có: $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_A=3.\frac{5}{3}\\ y_A-1=3.\left(\frac{8}{3}-1\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_A=5\\ y_A=6\end{array}\Rightarrow A\left(5;6\right)$  .

Suy ra: đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là đường tròn tâm $I\left(1;3\right)$ bán kính $R=IA=5$.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$.

Hướng dẫn giải

Vì $5=4+1=3+2=2+2+1=3+1+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$ nên ta có các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số $5$ đứng đầu và $2017$ số $0$ đứng sau : Có $1$ số.

+) Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số $4$, một chữ số $1$ và $2016$ số $0$.

- Khả năng 1: Nếu chữ số $4$ đứng đầu thì chữ số $1$ đứng ở một trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

- Khả năng 2: Nếu số $1$ đứng đầu thì số $4$ đứng ở một trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

+) Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số $3$, một chữ số $2$ và $2016$ số $0$

- Khả năng 1: Nếu số $3$ đứng đầu thì số $2$ đứng ở một trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

- Khả năng 2: Nếu số $2$ đứng đầu thì số $3$ đứng ở một trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

+) Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số $2$, một chữ số $1$ và $2015$ số $0$

- Khả năng 1: Nếu số $2$ đứng đầu thì số $1$ và số $2$ còn lại đứng ở hai trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $A_{2017}^2$ số.

- Khả năng 2: Nếu số $1$ đứng đầu thì hai chữ số $2$ đứng ở hai trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^2$số.

+) Trường hợp 5: Số tự nhiên có $2$ chữ số $1$, một chữ số $3$ thì tương tự như trường hợp $4$ ta có $A_{2017}^2+C_{2017}^2$ số.

+) Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số $2$, ba chữ số $1$ và $2014$ số $0$.

- Khả năng 1: Nếu số $2$ đứng đầu thì ba chữ số $1$ đứng ở ba trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^3$số.

- Khả năng 2: Nếu số $1$ đứng đầu và số $2$ đứng ở vị trí mà không có số $1$ nào khác đứng trước nó thì hai số $1$ còn lại đứng ở trong $2016$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2016}^2$ số.

- Khả năng 3: Nếu số $1$ đứng đầu và số $2$ đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số $1$ thì hai số $1$ và $2$ còn lại đứng ở trong $2016$ vị trí còn lại nên ta có $A_{2016}^2$ số.

+) Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số $1$ và $2013$ số $0$ , vì chữ số $1$ đứng đầu nên bốn chữ số $1$ còn lại đứng ở bốn trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^4$ số.

Áp dụng quy tắc cộng ta có $1+4C_{2017}^1+2\left(C_{2017}^2+A_{2017}^2\right)+\left(C_{2017}^3+A_{2016}^2+C_{2016}^2\right)+C_{2017}^4$ số cần tìm.

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left(n\in {\mathrm{N}}^{\ast },n\le 28\right)$. Suy ra số học sinh nam là $30-n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì $3$học sinh từ $30$ học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố Chọn được $2$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ .

Chọn $2$ nam trong $30-n$ nam, có$C_{30-n}^2$ cách.

Chọn $1$ nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=C_{30-n}^2.C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố$A$ là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}$.

Theo giả thiết, ta có $P\left(A\right)=\frac{12}{29}\iff \frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}=\frac{12}{29}\Rightarrow n=14$.

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$ học sinh.