Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 4 (có đáp án)

a) Đúng: Với $m\ne 2$ thì $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai.

b) Sai: Khi $m=3$ thì $f\left(x\right)$ luôn nhận giá trị dương với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Khi $m=3$ thì $$f\left(x\right)=x^2-4x+3$$ nên $f\left(x\right)>0\iff x^2-4x+3>0\iff [\begin{array}{l}x>3\\ x<1\end{array}$

c) Sai: Tam thức bậc hai $$f\left(x\right)$$ luôn nhận giá trị âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m\le 2$

Nếu $m=2$ thì $$f\left(x\right)=-2x+3\Rightarrow f\left(x\right)<0\iff x>\frac{3}{2}$$ nên không xảy ra $$f\left(x\right)<0$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

d) Đúng: Với mọi giá trị của $m$ thì $f\left(x\right)=0$ đều có nghiệm.

Nếu $m=2$ thì $$f\left(x\right)=-2x+3$$ nên $f\left(x\right)=0\iff x=\frac{3}{2}$.

Nếu $m\ne 2$ thì ${\Delta }^{\prime }={\left(m-1\right)}^2-3\left(m-2\right)={\left(m-\frac{5}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0,\forall m\in \mathbb{R}$.

Vậy với mọi giá trị của $m$ thì $f\left(x\right)=0$ đều có nghiệm.

Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(-5;1\right)$ nên đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;5\right)$.

Phương trình của đường thẳng $d$ là $1.\left(x-0\right)+5.\left(y-3\right)=0\iff x+5y-15=0$.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng $d$ là $x+5y-15=0$

Đường thẳng $\Delta$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$ nhận $$\overrightarrow{CB}=\left(3;2\right)$$ làm véc tơ pháp tuyến nên véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=\left(2;-3\right)$. Mà $\Delta$ đi qua trung điểm $I\left(-\frac{3}{2};2\right)$ của $BC$ nên $\Delta$ có phương trình là $\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}+2t\\ y=2-3t\end{array}$ với $t\in \mathbb{R}$.

Đường thẳng $AB$ có véc tơ chỉ phương là $$\overrightarrow{AB}=\left(-2;3\right)$$ nên $AB$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;2\right)$ và đi qua điểm $$A\left(2;0\right)$$ nên $AB$ có phương trình là

$3\left(x-2\right)+2\left(y-0\right)=0\iff 3x+2y-6=0$

Đường cao ứng với đỉnh $C$ của tam giác $ABC$ đi qua điểm $$C\left(--3;1\right)$$ và nhận $\overrightarrow{BA}=\left(2;-3\right)$ làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là

$2\left(x+3\right)-3\left(y-1\right)=0\iff 2x-3y+9=0$.

Từ đó dễ thấy đường thẳng này không đi qua điểm $M\left(2;3\right)$.

a) Đúng: Phương trình của đường thẳng $d$ đi qua $$B$$ và song song với $$AC$$ là $x+5y-15=0$.

b) Đúng: Phương trình của đường trung trực đoạn thẳng $BC$ là $\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}+2t\\ y=2-3t\end{array}$ với $t\in \mathbb{R}$.

c) Sai: Đường thẳng $AB$ có phương trình là $3x+2y+6=0$.

d) Sai: Đường cao ứng với đỉnh $C$ của tam giác $ABC$ đi qua điểm $M\left(2;3\right)$.

a) Đúng: Theo qui tắc nhân có $$5.5=25$$ số có hai chữ số.

b) Sai: Gọi số có 3 chữ số khác nhau là $\overline{abc}$.

Chọn $a$ có 5 cách.

Chọn $b$ có 4 cách.

Chọn $c$ có 3 cách.

Suy ra có $$\mathrm{5.4.3}=60$$ số có ba chữ số khác nhau.

c) Đúng: Gọi số chẵn có ba chữ số khác nhau là $\overline{abc}$.

Chọn $c$ có 2 cách.

Chọn $a$ có 4 cách.

Chọn $b$ có 3 cách.

Suy ra có $$\mathrm{2.4.3}=24$$ số chẵn có ba chữ số khác nhau.

d) Sai: Gọi số lẻ có ba chữ số khác nhau là $\overline{abc}$.

Chọn $c$ có 3 cách.

Chọn $a$ có 4 cách.

Chọn $b$ có 3 cách.

Suy ra có $$\mathrm{3.4.3}=36$$ số lẻ có ba chữ số khác nhau.

a) Sai: Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: $C_{52}^4=270725$.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=270725$.

Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý Át nên số phần tử của biến cố $$A$$ là: $n\left(A\right)=1$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là $$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{270725}$$.

b) Đúng: Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: $C_{52}^4=270725$.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=270725$.

Có $C_4^2$ cách rút được hai quân Át, Có $C_4^2$ cách rút được hai quân $K$ nên số phần tử của biến cố $$B$$ là: $n\left(B\right)=C_4^2.C_4^2=36$.

Vậy xác suất của biến cố $B$ là $$P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{36}{270725}$$.

c) Sai: Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: $C_{52}^4=270725$.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=270725$.

Biến cố $\overline{C}$: “ Rút không được quân Át nào”.

Có $C_{48}^4$ cách rút bốn quân không cố quân Át nào nên số phần tử của biến cố $$\overline{C}$$ là: $n\left(\overline{C}\right)=C_{48}^4=194580$.

Vậy xác suất của biến cố $C$ là $$P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=1-\frac{n\left(\overline{C}\right)}{n\left(\Omega \right)}=1-\frac{194580}{270725}=1-\frac{38916}{54145}=\frac{15229}{54145}$$.

d) Đúng: Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: $C_{52}^4=270725$.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: $n\left(\Omega \right)=270725$.

Có $C_{13}^1$ cách chọn ra 1 tứ quý. Ứng với tứ quý này có $C_4^2$ cách chọn ra 2 quân bài.

Có $C_{12}^2$ cách chọn ra 2 tứ quý từ 12 tứ quý còn lại. Mỗi tứ quý này có $C_4^1$ cách chọn ra 1 quân bài nên số phần tử của biến cố $$D$$ là: $n\left(D\right)=C_{13}^1.C_4^2.C_{12}^2.{\left(C_4^1\right)}^2=82368$.

Vậy xác suất của biến cố $D$ là $$P\left(D\right)=P\left(D\right)=\frac{n\left(D\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{82368}{270725}$$.

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là: $T\left(n\right)=n\left(360-10n\right)=360n-10n^2$.

Đây là một tam thức bậc hai với ẩn là $n$ có hệ số $a=-10<0$ và $b=360$ $\Rightarrow \frac{-b}{2a}=\frac{-360}{2.\left(-10\right)}=18$

Khi đó $T\left(18\right)=3240$.

Vậy người nuôi cần thả $18$ con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất

là $3240$ (đơn vị khối lượng).

Điều kiện: $\left(4-x\right)\left(x+2\right)\ge 0\iff x\in \left[-2;4\right]$.

$x^2-2x-8=4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}$$\iff x^2-2x-8=4\sqrt{-\left(x^2-2x-8\right)}\left(1\right)$.

Đặt $t=\sqrt{-\left(x^2-2x-8\right)}$, $t\ge 0$ $\iff t^2=-\left(x^2-2x-8\right)$$\iff x^2-2x-8=-t^2$.

$\left(1\right)\iff -t^2=4t$$\iff t^2+4t=0$$\iff [\begin{array}{l}t=0\left(n\right)\\ t=-4\left(l\right)\end{array}$$\iff \sqrt{-\left(x^2-2x-8\right)}=0$$\iff -\left(x^2-2x-8\right)=0$$\iff [\begin{array}{l}x=-2\left(n\right)\\ x=4\left(n\right)\end{array}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Phương trình parabol có dạng $y^2=2px$, với $p>0$.

Ta có $\left(P\right):y^2=2x$$\Rightarrow p=1$. Suy ra đường chuẩn $\Delta :x=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow x+\frac{1}{2}=0$.

Ta lại có $\{\begin{array}{l}M\left(a;b\right)\in \left(P\right)\\ d\left(M,\Delta \right)=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{b}^2=2a\\ \left|a+\frac{1}{2}\right|=2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{b}^2=2a\\ a+\frac{1}{2}=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\\ b^2=3\end{array}$

Suy ra $T=a^2+b^2=\frac{21}{4}$.

Trục lớn: $2a=60\Rightarrow a=30$.

Trục bé: $2b=30\Rightarrow b=15$.

Diện tích hình tròn: $S_T=\pi .15^2$, diện tích elip là $S_E=\pi .15.30$.

Tỉ số diện tích $T=\frac{S_T}{S_E-S_T}=\frac{\pi {.15}^2}{\pi .15.30-\pi {.15}^2}=\frac{15}{30-15}=1$.

Trường hợp 1: Lấy $1$ quả màu vàng và $2$ quả màu đỏ có: $C_8^2=28$ cách.

Trường hợp 2: Lấy $1$ quả màu vàng và $2$ quả màu xanh có: $C_3^2=3$ cách.

Trường hợp 3: Lấy $1$ quả màu đỏ và $2$ quả màu xanh có: $C_8^1.C_3^2=24$ cách.

Trường hợp 4: Lấy $1$ quả màu xanh và $2$ quả màu đỏ có: $C_3^1.C_8^2=84$ cách.

Số cách để lấy được $3$ quả cầu có đúng hai màu là: $28+3+24+84=139$ cách.

Cách khác:

Số cách lấy $3$ quả bất kì: $C_{12}^3=220$.

Số cách lấy $3$ quả có đủ $3$ màu: $C_8^1.C_3^1.C_1^1=24$.

Số cách lấy $3$ quả chỉ có $1$ màu: $C_8^3+C_3^3=57$.

Vậy số cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán là $220-24-57=139$.

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left(n\in {\mathrm{N}}^{\ast },n\le 28\right)$. Suy ra số học sinh nam là $30-n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì $3$học sinh từ $30$ học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố Chọn được $2$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ .

Chọn $2$ nam trong $30-n$ nam, có$C_{30-n}^2$ cách.

Chọn $1$ nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=C_{30-n}^2.C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố$A$ là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}$.

Theo giả thiết, ta có $P\left(A\right)=\frac{12}{29}\iff \frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}=\frac{12}{29}\Rightarrow n=14$.

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$ học sinh.