Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 01 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Gọi số vận động viên nam là $n$ (vận động viên) $\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2.C_n^2=n(n-1)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $C_2^1.C_n^2.2=4n$.

Khi đó ta có $n\left(n-1\right)-4n=84\Rightarrow n=12$ (loại $n=-7$).

Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là $2.C_{14}^2=182$.

b) Ta có khai triển của ${\left(1-x^2\right)}^5$ là:

${\left(1-x^2\right)}^5=C_5^0{1}^5-C_5^1.1^4.x^2+C_5^2.1^3.{\left(x^2\right)}^2-C_5^3.1^2.{\left(x^2\right)}^3+C_5^4.1.{\left(x^2\right)}^4-C_5^5.{\left(x^2\right)}^5$

$=1-5x^2+10x^4-10x^6+5x^8-x^{10}$.

Vậy hệ số của $x^6$ trong khai triển là  $-10$.

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left(n\in {\mathrm{N}}^{\ast },n\le 28\right)$. Suy ra số học sinh nam là $30-n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì $3$học sinh từ $30$ học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố Chọn được $2$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ .

Chọn $2$ nam trong $30-n$ nam, có$C_{30-n}^2$ cách.

Chọn $1$ nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left(A\right)=C_{30-n}^2.C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố$A$ là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}$.

Theo giả thiết, ta có $P\left(A\right)=\frac{12}{29}\iff \frac{C_{30-n}^2.C_n^1}{C_{30}^3}=\frac{12}{29}\Rightarrow n=14$.

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$ học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)=2\left(2;-1\right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Khi đó phương trình đường thẳng $AB$ nhận  $\left(1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $1\left(x+1\right)+2\left(y-3\right)=0\iff x+2y-5=0$.

b) Ta có: $A\in d_1$ nên $A\left(3;a\right)$, $\left(a<3\right)$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ mà $ABC$ nội tiếp đường tròn nên $AC$ là đường kính.

Đường thẳng $d_1:x=3$ có một vectơ pháp tuyến là $\left(1;0\right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left(0;1\right)$.

Đường thẳng $d_2:x-y+3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\left(1;-1\right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left(1;1\right)$.

Phương trình đường thẳng $AC$ nhận $\left(0;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $y=a$.

Phương trình đường thẳng $AB$ nhận $\left(1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $\left(x-3\right)+\left(y-a\right)=0\iff x+y=a+3$.

Điểm $C$ là giao của đường thẳng $AC$ và $d_2$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}y=a\\ x-y+3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=a-3\\ y=a\end{array}\Rightarrow C\left(a-3;a\right)$.

Điểm $B$ là giao của đường thẳng $AB$ và $d_2$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}x+y-a-3=0\\ x-y+3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{a}{2}\\ y=\frac{a}{2}+3\end{array}\Rightarrow B\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2}+3\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{AB}\left(\frac{a}{2}-3;-\frac{a}{2}+3\right)\Rightarrow AB=\left|\frac{a}{2}-3\right|$.

$\overrightarrow{BC}\left(\frac{a}{2}-3;\frac{a}{2}-3\right)\Rightarrow BC=\left|\frac{a}{2}-3\right|$.

Diện  tích tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}{\left(\frac{a}{2}-3\right)}^2=4\iff [\begin{array}{l}\frac{a}{2}-3=2\sqrt{2}\\ \frac{a}{2}-3=-2\sqrt{2}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}a=2\left(3+2\sqrt{2}\right)\\ a=2\left(3-2\sqrt{2}\right)\end{array}$

$\Rightarrow a=2\left(3-2\sqrt{2}\right)$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy tọa độ điểm $A\left(3;2\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)$.