Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều – Đề 10 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

+) Gọi $$AH$$ và $$AD$$ lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ $$A$$ của tam giác $$ABC$$.

+) Tọa độ $$A$$ là nghiệm của hệ $$\{\begin{array}{l}7x-2y-3=0\\ 6x-y-4=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\Rightarrow A\left(1;2\right)$$.

+) $$M$$ là trung điểm của $$AB$$ nên $\{\begin{array}{l}{x}_B=2x_M-x_A=3\\ y_B=2y_M-y_A=-2\end{array}\Rightarrow B\left(3;-2\right)$.

+) Đường thẳng $$BC$$ đi qua $B\left(3;-2\right)$ và vuông góc với đường thẳng $$AH$$:$$6x-y-4=0$$ nên có phương trình $$1\left(x--3\right)+6\left(y+2\right)=0\iff x+6y+9=0$$.

+) $$D$$ là giao điểm của $$BC$$ và $$AD$$ nên tọa độ $$D$$ là nghiệm của hệ

$$\{\begin{array}{l}7x-2y-3=0\\ x+6y+9=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ y=-\frac{3}{2}\end{array}\Rightarrow D\left(0;-\frac{3}{2}\right)$$

Mà $D$ là trung điểm của $BC$  suy ra $$C\left(-3;-1\right)$$.

+) Đường thẳng $$AC$$ đi qua $$A\left(1;2\right)$$ và có một vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow{AC}=\left(-4;-3\right)$ vậy đường thẳng $AC$có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AC}\left(-4;-3\right)$ suy ra đường thẳng $AC$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(3;-4\right)$ phương trình đường thẳng $AC$ là $$3\left(x-1\right)-4\left(y-2\right)=0\iff 3x-4y+5=0$$.

Hướng dẫn giải

a)

* Hà Nội

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

24      25      26      27      27      28      29      29      30.

+ Nhiệt độ trung bình là

$\overline{X}=\frac{24+25+26+27\cdot 2+28+29\cdot 2+30}{9}=\frac{245}{9}$.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R=30-24=6$.

+ Vì mẫu có 9 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là số ở vị trí thứ 5. Do đó, $Q_2=27$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 24       25    26      27.

Do đó, $Q_1=\frac{25+26}{2}=25,5$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28        29      29      30.

Do đó, $Q_3=\frac{29+29}{2}=29$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=29-25,5=3,5$.

+ Phương sai mẫu số liệu là

$s^2=\frac{{\left(24-\frac{245}{9}\right)}^2+{\left(25-\frac{245}{9}\right)}^2+...+{\left(30-\frac{245}{9}\right)}^2}{9}\approx 3,51$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{3,51}\approx 1,87$.

* Hồ Chí Minh

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

29      31      31      32      32      33      33      33      34.

+ Nhiệt độ trung bình là

$\overline{X^{\prime }}=\frac{29+31\cdot 2+32\cdot 2+33\cdot 3+34}{9}=32$.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R^{\prime }=34-29=5$.

+ Vì mẫu có 9 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là số ở vị trí thứ 5.

Do đó, $Q_2^{\prime }=32$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 29     31      31      32.

Do đó, $Q_1^{\prime }=\frac{31+31}{2}=31$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 33        33      33      34.

Do đó, $Q_3^{\prime }=\frac{33+33}{2}=33$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q^{\prime }=Q_3^{\prime }-Q_1^{\prime }=33-31=2$.

+ Phương sai mẫu số liệu là

$s^{\prime 2}=\frac{{\left(29-32\right)}^2+2\cdot {\left(31-32\right)}^2+...+{\left(34-32\right)}^2}{9}=2$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s^{\prime }=\sqrt{{s^{\prime }}^2}=\sqrt{2}\approx 1,41$.

b) Từ câu a, ta thấy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn của dãy số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần tại thành phố Hồ Chí Minh đều nhỏ hơn các số đặc trưng này tại Hà Nội nên ta khẳng định rằng nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần ở thành phố Hồ Chí Minh ít biến động hơn.

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=10!$.

Giả sử các ghế được đánh số từ $1$  đến $10$.

Để có cách xếp sao cho giữa $2$ bạn nữ gần nhau có đúng $2$ bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số $1;4;7;10$. Số cách xếp chỗ ngồi loại này là: $6!.4!$ cách.

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau

Nếu Huyền ngồi ở ghế $1$ hoặc $10$  thì có $1$ cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế $4$  hoặc $7$ thì có $2$  cách xếp chỗ ngồi cho Quang.

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $2+2.2=6$

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho $10$ người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là$6.3!.5!$ cách

Gọi $A$ là biến cố: “ Giữa $2$ bạn nữ gần nhau có đúng $2$ bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”.

Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left(A\right)=4!.6!-6.5!.3!=12960$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left(A\right)=\frac{12960}{10!}=\frac{1}{280}$.