Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều – Đề 05 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Kết quả trung bình của bạn Mạnh là:

$\overline{x_1}=\frac{2,1+2,5+2,4+2,2+2,3}{5}=2,3$

Kết quả trung bình của bạn Duy là:

$\overline{x_2}=\frac{2,0+2,8+2,6+2,2+1,9}{5}=2,3$.

Vậy cả hai bạn có kết quả nhảy trung bình là bằng nhau.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn mạnh là:

$S_{x_1}^2=\frac{{\left(2,1-2,3\right)}^2+{\left(2,5-2,3\right)}^2+{\left(2,4-2,3\right)}^2+{\left(2,2-2,3\right)}^2+{\left(2,3-2,3\right)}^2}{5}=0,02$.

Suy ra độ lệch chuẩn

$s_{x_1}=\sqrt{S_{x_1}^2}=\sqrt{0,02}\approx 0,14$.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy là:

$S_{x_1}^2=\frac{{\left(2,0-2,3\right)}^2+{\left(2,8-2,3\right)}^2+{\left(2,6-2,3\right)}^2+{\left(2,2-2,3\right)}^2+{\left(1,9-2,3\right)}^2}{5}=0,12$

Suy ra độ lệch chuẩn

$s_{x_2}=\sqrt{S_{x_2}^2}=\sqrt{0,12}\approx 0,35$.

Vì $0,35>0,14$ nên mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy có độ phân tán lớn hơn hay nói cách khác bạn Duy có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

b) Ta có khai triển của ${\left(1-x^2\right)}^5$ là:

${\left(1-x^2\right)}^5=C_5^0{1}^5-C_5^1.1^4.x^2+C_5^2.1^3.{\left(x^2\right)}^2-C_5^3.1^2.{\left(x^2\right)}^3+C_5^4.1.{\left(x^2\right)}^4-C_5^5.{\left(x^2\right)}^5$

$=1-5x^2+10x^4-10x^6+5x^8-x^{10}$.

Vậy hệ số của $x^6$ trong khai triển là  $-10$.

Hướng dẫn giải.

Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là $n\left(n\ge 7,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$.

Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là $n-3$.

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện trong đó có $3$ nữ là $\frac{C_3^3.C_{n-3}^1}{C_n^4}$.

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện có toàn nam là $\frac{C_{n-3}^4}{C_n^4}$.

Theo giả thiết, ta có $\frac{C_3^3.C_{n-3}^1}{C_n^4}=\frac{2}{5}.\frac{C_{n-3}^4}{C_n^4}\iff C_{n-3}^1=\frac{2}{5}{C}_{n-3}^4$.

$$\iff \left(n-3\right)=\frac{2}{5}\frac{\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)\left(n-6\right)\left(n-7\right)!}{4!\left(n-7\right)!}\iff \left(n-4\right)\left(n-5\right)\left(n-6\right)=60$$

$\iff n^3-15n^2+74n-180=0$

$\iff \left(n-9\right)\left(n^2-6n+20\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}n-9=0\\ n^2-6n+20=0\end{array}\iff n=9$ (do $n^2-6n+20=0$ vô nghiệm).

Vậy cho đoàn có $9$ đoàn viên.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến $$\left(\Delta \right)$$ song song với đường thẳng $$y=2x-1$$ là $$y-2x+c=0$$.

Đường tròn $$\left(C\right)$$ có tâm $$I\left(1;0\right)$$ và bán kính $$R=3$$.

Theo giả thiết, ta có: $$d\left(I;\Delta \right)=\frac{\left|n-2\right|}{\sqrt{5}}=3\iff [\begin{array}{l}c=2-3\sqrt{5}\\ c=2+3\sqrt{5}\end{array}$$

Vậy phương trình tiếp tuyến $$\left(\Delta \right)$$ là $$y-2x+2-3\sqrt{5}=0$$ hoặc $$y-2x+2+3\sqrt{5}=0$$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $M\in {\Delta }^{\prime }$.

Đặt: $M\left(3t;-2t\right)$.

$\Rightarrow B\left(6t-4;-4t+1\right)$

Mặt khác $B\in \Delta$ nên ta có: $2\left(6t-1\right)-3\left(-4t+4\right)=0$

$\iff 24t-11=0$

$\iff t=\frac{11}{24}$

$\Rightarrow B\left(-\frac{5}{4};-\frac{5}{6}\right)$.

Đường thẳng $\Delta :2x-3y=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(2;-3\right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left(3;2\right)$.

Vì $\Delta \; \perp AC$ nên đường thẳng $AC$ nhận $\overrightarrow{u}\left(3;2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: $3\left(x-4\right)+2\left(y+1\right)=0\iff 3x+2y-10=0$.

Tọa độ điểm $C$ là giao điểm của $AC$ và ${\Delta }^{\prime }$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=0\\ 3x+2y-10=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ y=-4\end{array}\Rightarrow C\left(6;-4\right)$.