Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều – Đề 03 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến $$\left(\Delta \right)$$ song song với đường thẳng $$y=2x-1$$ là $$y-2x+c=0$$.

Đường tròn $$\left(C\right)$$ có tâm $$I\left(1;0\right)$$ và bán kính $$R=3$$.

Theo giả thiết, ta có: $$d\left(I;\Delta \right)=\frac{\left|n-2\right|}{\sqrt{5}}=3\iff [\begin{array}{l}c=2-3\sqrt{5}\\ c=2+3\sqrt{5}\end{array}$$

Vậy phương trình tiếp tuyến $$\left(\Delta \right)$$ là $$y-2x+2-3\sqrt{5}=0$$ hoặc $$y-2x+2+3\sqrt{5}=0$$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $M\in {\Delta }^{\prime }$.

Đặt: $M\left(3t;-2t\right)$.

$\Rightarrow B\left(6t-4;-4t+1\right)$

Mặt khác $B\in \Delta$ nên ta có: $2\left(6t-1\right)-3\left(-4t+4\right)=0$

$\iff 24t-11=0$

$\iff t=\frac{11}{24}$

$\Rightarrow B\left(-\frac{5}{4};-\frac{5}{6}\right)$.

Đường thẳng $\Delta :2x-3y=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(2;-3\right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left(3;2\right)$.

Vì $\Delta \; \perp AC$ nên đường thẳng $AC$ nhận $\overrightarrow{u}\left(3;2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: $3\left(x-4\right)+2\left(y+1\right)=0\iff 3x+2y-10=0$.

Tọa độ điểm $C$ là giao điểm của $AC$ và ${\Delta }^{\prime }$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=0\\ 3x+2y-10=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ y=-4\end{array}\Rightarrow C\left(6;-4\right)$.

Hướng dẫn giải

a) $$C_{n+1}^n+3C_{n+2}^2=C_{n+1}^3\left(n\in N,n\ge 2\right)$$

$$\iff \frac{\left(n+1\right)!}{1!n!}+3.\frac{\left(n+2\right)!}{2!.n!}=\frac{\left(n+1\right)!}{3!.\left(n-2\right)!}$$

$$\iff n+1+3.\frac{\left(n+1\right).\left(n+2\right)}{2}=\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{6}$$

$$\iff 1+3.\frac{\left(n+2\right)}{2}=\frac{\left(n-1\right).n}{6}$$

$$\iff 6+9n+18=n^2-n$$

$$\iff n^2-10n-24=0$$

$$\iff [\begin{array}{l}n=-2\\ n=12\left(tmdk\right)\end{array}$$

Vậy $$n=12$$ là giá trị cần tìm.

b) Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu $M$ theo thứ tự không giảm, ta được:

15,5   25      25,1   25,2   25,3   25,4   25,4   25,5   25,5   25,6

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_2=\frac{25,3+25,4}{2}=25,35$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 15,5          25      25,1   25,2   25,3.

Do đó, $Q_1=25,1$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 25,4   25,4   25,5   25,5   25,6.

Do đó, $Q_3=25,5$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=25,5-25,1=0,4$.

Ta có: $Q_1-1,5{\Delta }_Q=25,1-1,5\cdot 0,4=24,5$; $Q_3+1,5{\Delta }_Q=25,5+1,5\cdot 0,4=26,1$.

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 15,5 < 24,5.

Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu $M$ có giá trị bất thường là 15,5 rơi vào ngày thứ 4.

• Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu $N$ theo thứ tự không giảm, ta được:

27      27,4   27,8   28,6   28,8   28,8   28,8   29      29,2   48,2

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_2^{\prime }=\frac{28,8+28,8}{2}=28,8$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 27   27,4   27,8   28,6   28,8.

Do đó, $Q_1^{\prime }=27,8$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 28,8   28,8   29      29,2   48,2.

Do đó, $Q_3^{\prime }=29$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q^{\prime }=Q_3^{\prime }-Q_1^{\prime }=29-27,8=1,2$.

Ta có: $Q_1^{\prime }-1,5{\Delta }_Q^{\prime }=27,8-1,5\cdot 1,2=26$; $Q_3^{\prime }+1,5{\Delta }_Q^{\prime }=29+1,5\cdot 1,2=30,8$.

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 48,2 > 30,8.

Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu $N$ có giá trị bất thường là 48,2 rơi vào ngày thứ 4.

Vậy ta kiểm tra được giá trị bất thường rơi vào ngày thứ 4.

Khi bỏ đi ngày có giá trị bất thường, ta có bảng sau:

So sánh phương sai mẫu số liệu mã cổ phiếu $M$ và $N$ để kiểm tra tính ổn định của mẫu.

Số trung bình của mẫu số liệu $M$ là:

$\overline{X_M}=\frac{25+25,1+25,2+25,3+25,4+25,4+25,5+25,5+25,6}{9}=\frac{76}{3}$.

Phương sai mẫu số liệu $M$ là:

$s_M^2=\frac{{\left(25-\frac{76}{3}\right)}^2+{\left(25,1-\frac{76}{3}\right)}^2+...+{\left(25,6-\frac{76}{3}\right)}^2}{9}\approx 0,04$.

Số trung bình của mẫu số liệu $N$ là:

$\overline{X{}_N}=\frac{27+27,4+27,8+28,6+28,8+28,8+28,8+29+29,2}{9}\approx 28,38$.

Phương sai mẫu số liệu $N$ là:

$s_N^2=\frac{{\left(27-28,38\right)}^2+{\left(27,4-28,38\right)}^2+...+{\left(29,2-28,38\right)}^2}{9}\approx 0,54$.

Vì 0,54 > 0,04 nên $s_N^2>s_M^2$, do đó giá của mã cổ phiếu $M$ ổn định hơn giá của mã cổ phiếu $N$.

Vậy sau khi bỏ đi giá cổ phiếu của ngày thứ 4 rồi so sánh phương sai mẫu, ta thấy giá của mã cổ phiếu $M$ ổn định hơn giá của mã cổ phiếu $N$.

Hướng dẫn giải

Vì chọn $$10$$ tấm thẻ trong $$30$$ tấm thẻ nên số phần tử của không gian mẫu là: $$n\left(\Omega \right)=C_{30}^{10}=30045015$$.

Gọi $$A$$ là biến cố lấy được $$5$$ tấm thẻ mang số lẻ và $$5$$ tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho $$10$$.

Công đoạn 1, vì có $$15$$ tấm thẻ đánh số lẻ và chỉ lấy ra $$5$$ tấm thẻ nên có: $$C_{15}^5=3003$$ (cách).

Công đoạn 2, lấy $$5$$ tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho $$10$$, trong đó có $$3$$ tấm thẻ đánh số chia hết cho $$10$$ và lấy ra một tấm thẻ, có $$12$$ tấm thẻ còn lại đánh số chẵn và lấy ra $$4$$ tấm thẻ nên ta có: $$C_3^1.C{}_{12}^4=1485$$ (cách).

Số phần tử của biến cố $$A$$ là: $$3003.1485=4459455$$ (cách).

Vậy xác suất của biến cố $$A$$ là: $$P\left(A\right)=\frac{4459455}{30045015}=\frac{99}{667}$$.