Đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều – Đề 02 (có đáp án)

Hướng dẫn giải.

Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là $n\left(n\ge 7,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$.

Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là $n-3$.

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện trong đó có $3$ nữ là $\frac{C_3^3.C_{n-3}^1}{C_n^4}$.

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện có toàn nam là $\frac{C_{n-3}^4}{C_n^4}$.

Theo giả thiết, ta có $\frac{C_3^3.C_{n-3}^1}{C_n^4}=\frac{2}{5}.\frac{C_{n-3}^4}{C_n^4}\iff C_{n-3}^1=\frac{2}{5}{C}_{n-3}^4$.

$$\iff \left(n-3\right)=\frac{2}{5}\frac{\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)\left(n-6\right)\left(n-7\right)!}{4!\left(n-7\right)!}\iff \left(n-4\right)\left(n-5\right)\left(n-6\right)=60$$

$\iff n^3-15n^2+74n-180=0$

$\iff \left(n-9\right)\left(n^2-6n+20\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}n-9=0\\ n^2-6n+20=0\end{array}\iff n=9$ (do $n^2-6n+20=0$ vô nghiệm).

Vậy cho đoàn có $9$ đoàn viên.

Hướng dẫn giải

a) Nhận thấy giá trị 0,312 nhỏ hơn rất nhiều so với các giá trị khác trong mẫu số liệu đã cho, do đó để kiểm tra nghi ngờ của Nam, ta cần xác định xem 0,312 có phải giá trị bất thường của mẫu số liệu hay không.

Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:

0,312;   0,895;   0,898;   0,898;   0,899;   0,899;   0,901;   0,902;  0,905;   0,910.

Vì mẫu số liệu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ năm và thứ sáu, do đó $Q_2=\frac{0,899+0,899}{2}=0,899$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 0,213;   0,895;   0,898;   0,898;   0,899.

Do đó, $Q_1=0,898$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 0,899;  0,901;   0,902;  0,905;   0,910.

Do đó, $Q_3=0,902$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=0,902-0,898=0,004$.

Ta có: $Q_1-1,5{\Delta }_Q=0,898-1,5\cdot 0,004=0,892$.

Vì 0,312 < 0,892 nên 0,312 là giá trị bất thường của mẫu số liệu. Do đó, giá trị ở lần đó thứ 8 trong thí nghiệm trên không chính xác hay nghi ngờ của Nam là đúng.

b) Điều kiện $x\in \mathbb{N},x\ge 3$

Xét $A_x^3+5A_x^2\le 21x$

$\iff \frac{x!}{\left(x-3\right)!}+\frac{5.x!}{\left(x-2\right)!}\le 21x$

$\iff x\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5x\left(x-1\right)\le 21x$

$\iff x^2-3x+2+5x-5\le 21$

$\iff x^2+2x-24\le 0$

$\iff -6\le x\le 4$

Mà $x\in \mathbb{N},x\ge 3$ nên $x\in \left\{3;4\right\}$.

Vậy $x=3$ hoặc $x=4$.

Hướng dẫn giải