Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 8 (có đáp án)

Gọi $A,B,C,M,H$ lần lượt là đỉnh tháp viễn thông, điểm trên sườn dốc cách chân tháp 35 m, chân tháp viễn thông, chân sườn dốc, hình chiếu của điểm A lên phương ngang như hình vẽ sau

Khi đó ta có: $AC=48$m, $BC=35$m, $\widehat{CMH}=25^{\circ }$, $\widehat{CHM}=90^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{MCH}=90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$.

Ta có: $\widehat{ACB}=\widehat{MCH}=65^{\circ }$ (2 góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ ta có

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cdot \cos \widehat{ACB}$$=48^2+35^2-2\cdot 48\cdot 35\cdot \cos 65^{\circ }\approx 2109$

Suy ra $AB\approx 46$ (m).

Vậy chiều dài của sợi dây cáp đó khoảng 46 m.

+ Ta có $$\overrightarrow{AB}=\left(-1;-1\right)\Rightarrow 3\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3\right)$$

$$\overrightarrow{AC}=\left(3;2\right)\Rightarrow -4\overrightarrow{AC}=\left(-12;-8\right)$$

$$\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}=\left(-15;-11\right)$$

 $\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_E-x_C=-15\\ y_E-y_C=-11\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_E-4=-15\\ y_E-5=-11\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_E=-11\\ y_E=-6\end{array}.$ Vậy $E\left(-11;-6\right)$.

+ Ta có: $\overrightarrow{AF}=\left(x_F-1;y_F-3\right)$

$\overrightarrow{BF}=\left(x_F-0;y_F-2\right)\Rightarrow 2\overrightarrow{BF}=\left(2x_F;2y_F-4\right)$

$\overrightarrow{CF}=\left(x_F-4;y_F-5\right)\Rightarrow -4\overrightarrow{CF}=\left(-4x_F+16;-4y_F+20\right)$

Vì $$\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{BF}-4\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}\iff$$$$\{\begin{array}{l}\left(x_F-1\right)+2x_F+\left(-4x_F+16\right)=0\\ \left(y_F-3\right)+\left(2y_F-4\right)+\left(-4y_F+20\right)=0\end{array}$$

$\iff \{\begin{array}{l}-x_F+15=0\\ -y_F+13=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_F=15\\ y_F=13\end{array}$. Vậy $F\left(15;13\right)$.

a) Ta có: $$AC\perp DB\iff \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$$

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)$$

$$=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-A{B}^2+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}$$

Ta lại có: $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$

Và $$A{B}^2=h^2,\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=BC\cdot AD=ab$$ .

Do đó, $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0-h^2+ab-0=ab-h^2$$.

Vậy $$\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}\iff ab-h^2=0$$.

b) Vì \(I\) là trung điểm $CD$ nên $$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$$ và $$\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)$$.

Khi đó ta có: $$\widehat{AIB}=90^{\circ }\iff \overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BI}=0\iff \left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)=0$$

$$\iff \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=0$$

Mà $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+{\overrightarrow{BC}}^2=0+B{C}^2=b^2$$; $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=ab-h^2$$;

$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=AD\cdot BC=ab$$; $$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BA}+{\overrightarrow{AD}}^2=0+A{D}^2=a^2$$.

Do đó, ta có: $$\widehat{AIB}=90^{\circ }\iff a^2+b^2-h^2+2ab=0\iff a+b=h.$$

a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

21      24      25      26      26      26      27      27      31      33.

+ Chiều dài trung bình của cá voi xanh trưởng thành là

$\overline{X}=\frac{21+24+25+26\cdot 3+27\cdot 2+31+33}{10}=26,6$.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R=33-21=12$.

+ Vì mẫu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ 5 và 6. Do đó, $Q_2=\frac{26+26}{2}=26$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 21 24      25      26          26. Do đó, $Q_1=25$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 26     27      27      31          33. Do đó, $Q_3=27$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=27-25=2$.

+ Phương sai mẫu số liệu là

$s^2=\frac{{\left(21-26,6\right)}^2+{\left(24-26,6\right)}^2+...+{\left(31-26,6\right)}^2}{10}=10,24$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{10,24}=3,2$.

b) Ta có: $Q_1-1,5{\Delta }_Q=25-1,5\cdot 2=22$, $Q_3+1,5{\Delta }_Q=27+1,5\cdot 2=30$.

Mẫu số liệu đã cho có các số liệu 21 < 22, 31 > 30, 33 > 30.

Vậy mẫu số liệu có các giá trị bất thường là 21, 31, 33.