Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 7 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có $x\left(m\right)$ là chiều rộng mảnh vườn nên $x>0$.

Chiều dài của mảnh vườn là: $220:2-x=110-x\left(m\right)$.

Diện tích mảnh vườn là: $S\left(x\right)=x.\left(110-x\right)=-x^2+110x\left(m^2\right)$.

Vậy công thức tính diện tích $S\left(x\right)$ của mảnh vườn là $S\left(x\right)=-x^2+110x$.

b) Công thức $S\left(x\right)=-x^2+110x$ là hàm số bậc hai.

Hàm số có điểm đỉnh: $x_I=-\frac{110}{2.\left(-1\right)}=55$, $y_I=-\frac{{110}^2-4.\left(-1\right).0}{4.\left(-1\right)}=3025$.

Ta có: $a=-1<0$, khi đó ta có bảng biến thiên:

220m hàng rà (ảnh 1)">

Suy ra hàm số $S\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $3025$ khi $x=55$.

Vậy diện tích của mảnh vườn lớn nhất là $3025\left(m^2\right)$ khi chiều rộng bằng chiều dài và bằng $55m$.

Hướng dẫn giải

a) Cho tam giác vuông cân $ABC$ có $AB=AC=a$. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$.

Vì $AB\perp AC$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.

Xét tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$ (định lí Pythagoras)

$\hat{B}=\hat{C}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Ta có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=-CA.CB.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=-a.a\sqrt{2}.{cos45}^{\circ }=-a^2$.

b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

+) Ta có: $2011\overrightarrow{A^{\prime }B}+2012\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2011\overrightarrow{A^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GB}+2012\overrightarrow{A^{\prime }G}+2012\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 4023\overrightarrow{A^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GB}+2012\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ $\left(1\right)$.

+) Ta có: $2011\overrightarrow{B^{\prime }C}+2012\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{0}$

$$\iff 2011\overrightarrow{B^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GC}+2012\overrightarrow{B^{\prime }G}+2012\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}$$

$$\iff 4023\overrightarrow{B^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GC}+2012\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}$$ $\left(2\right)$.

+) Ta có: $2011\overrightarrow{C^{\prime }A}+2012\overrightarrow{C^{\prime }B}=\overrightarrow{0}$

$$\iff 2011\overrightarrow{C^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GA}+2012\overrightarrow{C^{\prime }G}+2012\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$$

$$\iff 4023\overrightarrow{C^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GA}+2012\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$$ $\left(3\right)$.

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

$$\iff 4023\left(\overrightarrow{A^{\prime }G}+\overrightarrow{B^{\prime }G}+\overrightarrow{C^{\prime }G}\right)+4023\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}$$

$$\iff 4023\left(\overrightarrow{A^{\prime }G}+\overrightarrow{B^{\prime }G}+\overrightarrow{C^{\prime }G}\right)+4023.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$$

$$\iff \overrightarrow{A^{\prime }G}+\overrightarrow{B^{\prime }G}+\overrightarrow{C^{\prime }G}=\overrightarrow{0}$$

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Hướng dẫn giải

Khối lượng trung bình của một số quả măng cụt của lô hàng $A$ là:

$\overline{x_1}=\frac{85+82+80+75+81+87+85+85+78+82+83+80}{12}\approx 82$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$S_{x_1}=\frac{3{\left(85-82\right)}^2+2{\left(82-82\right)}^2+2{\left(80-82\right)}^2+{\left(75-82\right)}^2+{\left(81-82\right)}^2+{\left(87-82\right)}^2}{12}$

$+\frac{{\left(78-82\right)}^2+{\left(83-82\right)}^2}{12}\approx 10,58$.

$s_{x_1}=\sqrt{10,58}\approx 3,25$.

Khối lượng trung bình của một số quả măng cụt của lô hàng $B$ là:

$\overline{x_1}=\frac{81+80+82+81+83+80+82+84+84+81+83+82}{12}\approx 82$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$S_{x_2}=\frac{3{\left(81-82\right)}^2+2{\left(80-82\right)}^2+3{\left(82-82\right)}^2+2{\left(83-82\right)}^2+2{\left(84-82\right)}^2}{12}=1,75$.

$s_{x_2}=\sqrt{1,75}\approx 1,32$.

Vì $1,32<3,25$ nên độ phân tán của mẫu số liệu $2$ nhỏ hơn của mẫu số liệu $1$ hay lô hàng $B$ đều hơn.