Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều – Đề 9 (có đáp án)

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của $AB$, tia $AB$ là chiều dương của trục $Ox$, gọi các điểm như hình vẽ trên.

Gọi parabol của dạng cổng là $y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$.

Do đỉnh parabol nằm trên trục $Oy$ nên ta có: $\frac{-b}{2a}=0\Rightarrow b=0$ và đỉnh có tọa độ là: $\left(0;c\right)$.

Ta có: $OB=150:2=75$ (m), $OH=150:2-15=60$ (m).

Do đó, có các tọa độ $B\left(75;0\right)$, $I\left(-60;42\right)$, parabol đi qua hai điểm đó nên ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}75^2\cdot a+c=0\\ {\left(-60\right)}^2\cdot a+c=42\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-\frac{14}{675}\\ c=\frac{350}{3}\end{array}$.

Như vậy chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) là tung độ của đỉnh của parabol nên $h=c=\frac{350}{3}$.

Vậy cổng parabol cao $\frac{350}{3}$ m.

Ta xem vị trí ga $A$, ga $B$ và tháp $C$ như các điểm, nối với nhau tạo thành $\Delta ABC$.

Theo bài ra ta có $AB=8$ km, $$\widehat{CAB}=60^{\circ },\widehat{ABC}=45^{\circ }$$.

Ta có: $\widehat{ACB}+\widehat{CAB}+\widehat{ABC}=180^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ }-\left(60^{\circ }+45^{\circ }\right)=75^{\circ }$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$.

Suy ra $AC=\frac{AB\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{8\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}\approx 5,86$ (km).

Vậy khoảng cách từ ga $A$ đến tháp $C$ xấp xỉ bằng 5,86 km.

Vì $E$ là một điểm thuộc cạnh $CD$ nên tồn tại $$k\in \left(0;1\right)$$ sao cho $$k\overrightarrow{EC}+\left(1-k\right)\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$$.

Khi đó, $$k\overrightarrow{BC}+\left(1-k\right)\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BE}$$ và $$k\overrightarrow{AC}+\left(1-k\right)\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$$.

Lại có $AD$ và $BC$ cùng vuông góc với $AB$ nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$, $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AD}=0$ và $AD//BC$ nên $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=AD\cdot BC=ab$ (hai vectơ cùng hướng).

Từ đó, suy ra

$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AE}=k^2\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AC}+k\left(1-k\right)\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}+k\left(1-k\right)\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}+{\left(1-k\right)}^2\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AD}$

$$=k^2\overrightarrow{BC}\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+k\left(1-k\right)ab+k\left(1-k\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+{\left(1-k\right)}^2\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\overrightarrow{AD}$$

$$=k^2{b}^2+k\left(1-k\right)ab+k\left(1-k\right)\left(-8^2+ab\right)+{\left(1-k\right)}^2{a}^2$$

$$={\left(kb+\left(1-k\right)a\right)}^2-64k\left(1-k\right)$$

Do $$\widehat{AEB}=90^{\circ }$$ $$\iff \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AE}=0\iff kb+\left(1-k\right)a=8\sqrt{k\left(1-k\right)}\iff \sqrt{\frac{k}{1-k}b}+\sqrt{\frac{1-k}{k}a}=8$$.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có $$8=\sqrt{\frac{k}{1-k}b}+\sqrt{\frac{1-k}{k}a}\ge 2\sqrt{ab}\iff ab\le 16$$.

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $$a=b=4$$ và $$k=0,5$$.

Vậy $$\max T=16$$.