Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều – Đề 6 (có đáp án)

Tại $t=0$, ta có: $y=h=1,2$; tại $t=1$, ta có$h=8,5$; tại $t=2$, ta có $y=h=6$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oth$ như hình vẽ.

Parabol $\left(P\right)$ có phương trình: $y=a{t}^2+bt+c$, với $a\ne 0$.

Theo bài ra ta có: $A\left(0;1,2\right)\in \left(P\right),B\left(1;8,5\right)\in \left(P\right),C\left(2;6\right)\in \left(P\right)$.

Vậy ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}c=1,2\\ a+b+c=8,5\\ 4a+2b+c=6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=1,2\\ a=-4,9\\ b=12,2\end{array}$.

Vậy hàm số cần tìm có dạng: $y=-4,9t^2+12,2t+1,2$.

Gọi $O,A,B$ lần lượt là vị trí sân bay và hai máy bay sau 2 tiếng.

Hướng $N25^{\circ }\mathrm{E}$ là hướng tạo với hướng bắc một góc $25^{\circ }$ và tạo với hướng đông một góc $90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$. Ta mô phỏng bài toán đã cho như sau:

Quãng đường máy bay bay theo hướng đông sau 2 tiếng là

$OA=540\cdot 2=1080$ (km).

Quãng đường máy bay bay theo hướng $N25^{\circ }\mathrm{E}$ sau 2 tiếng là

$OB=670\cdot 2=1340$ (km).

Ta có: $\widehat{AOB}=65^{\circ }$, $OA=1080,OB=1340$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $OAB$, ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \widehat{AOB}$

$=1080^2+1340^2-2\cdot 1080\cdot 1340\cdot \cos 65^{\circ }\approx 1738774$.

Suy ra $AB\approx \sqrt{1738774}\approx 1319$ (km).

Vậy sau 2 tiếng, hai máy bay cách nhau khoảng 1 319 km.

Gọi $N$ là trung điểm của $BC$.

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn điều kiện: $$4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$.

Khi đó, ta có: $$4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$$$\iff 4\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}\iff 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}$$, do đó điểm $I$ thuộc đoạn $AN$ sao cho $IN=2IA$.

ABC cạnh $a$. X (ảnh 1)">

Lại có tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra: $$IA=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$; $IN=\frac{2}{3}AN=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ ;

$$IB=IC=\sqrt{I{N}^2+B{N}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$$.

Ta lại có: $$4M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=\frac{5a^2}{2}$$

$$\iff 4{\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2=\frac{5a^2}{2}$$

$$\iff 4{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2=\frac{5a^2}{2}$$

$$\iff 6M{I}^2+2\overrightarrow{MI}\left(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+4I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2=\frac{5a^2}{2}$$

$\iff 6M{I}^2+4\cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{21}}{6}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{21}}{6}\right)}^2=\frac{5a^2}{2}$

$$\iff MI=\frac{a}{\sqrt{6}}$$.

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $$R=\frac{a}{\sqrt{6}}$$.