Đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) $\frac{1,2}{x}=\frac{5}{2}$ nên $x=\frac{2.1,2}{5}=0,48$. Vậy $x=0,48$.

b) $\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$ và $x+y=10$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{x+y}{3+2}=\frac{10}{5}=2$.

Suy ra $x=3.2=6;y=2.2=4$.

Vậy $x=6;y=4.$

c) $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}$ và $y+z=80$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=\frac{y+z}{4+6}=\frac{80}{10}=8$.

Suy ra $x=3.8=24;y=4.8=32;z=6.8=48$.

Vậy $x=24;y=32;z=48.$

Hướng dẫn giải

2.1. Có $10$ vòi nước công suất như nhau cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ thì đầy bể. Vậy hỏi số vòi nước cùng công suất để sau 5 giờ thì đầy bể là bao nhiêu?

2.2.Gọi số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $a,b,c$ cây $\left(a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$.

Số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt tỉ lệ với $6;4;5$ suy ra $\frac{a}{6}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$.

Tổng số cây lớp 7B và 7C trồng được nhiều hơn của lớp 7A là $15$ cây.

Do đó, ta có: $b+c-a=15$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{a}{6}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{b+c-a}{4+5-6}=\frac{15}{3}=5$.

Ta có: $a=6.5=30$ (thỏa mãn), $b=5.4=20$ (thỏa mãn), $c=5.5=25$ (thỏa mãn)

Vậy số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $30$ cây, $20$ cây, $25$ cây.

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: $C\left(x\right)=x^4+x^3-4x-x^4+3x+7+3x^2-x^2$

$C\left(x\right)=\left(x^4-x^4\right)+x^3+\left(-4x+3x\right)+\left(3x^2-x^2\right)+7$

$C\left(x\right)=x^3-x+2x^2+7$ hay $C\left(x\right)=x^3+2x^2-x+7$.

b) Đa thức $C\left(x\right)$ có hệ số cao nhất là $1$; hệ số tự do là $7$ và bậc là $3$.

c) Ta có: $C\left(2\right)=2^3-2+2.2^2+7=21$.

$C\left(1\right)=1^3-1+2.1^2+7=9$

$C\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-\left(-1\right)+2.{\left(-1\right)}^2+7=9$.

d) Ta có: $D\left(x\right)-x+2x^2-1=C\left(x\right)$ nên $D\left(x\right)=C\left(x\right)+x-2x^2+1$

Do đó, $D\left(x\right)=x^3+2x^2-x+7+x-2x^2+1=x^3+8$.

3.2. Ta có: $G={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^4-2025$

Nhận thấy ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$; ${\left(y-2\right)}^2\ge 0$ và ${\left(z+3\right)}^4\ge 0$.

Do đó, ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^4\ge 0$ nên ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^4-2025\ge -2015$.

Dấu “=” xảy ra khi ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0;{\left(y-2\right)}^2=0;{\left(z+3\right)}^4=0$ hay $x=\frac{1}{2};y=2;z=3$.

Vậy GTNN của $G=-2025$ khi $x=\frac{1}{2};y=2;z=3$.

Hướng dẫn giải

4.1.

Xét

$\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:

$AB=AC$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\hat{B}=\hat{C}$($\Delta ABC$ cân tại $A$)

$BM=MC$

Suy ra $\Delta ABM=\Delta ACM$ (c.g.c)

Do đó, $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng) (1)

Mà hai góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù.

Suy ra $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^{\circ }$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180^{\circ }}{2}=90^{\circ }$.

Do đó, $AM\perp BC$ tại $M.$

Vậy $AM$ là khoảng cách từ $A$ đến cạnh $BC$ của tam giác $ABC.$

4.2. Ta có $BC>AB,BC>AC$ nên $BC+BC+BC>AC+AB+BC$ tức là $3BC>18$ hay $BC>6.$

Ta có $BC<AC+AB$ nên $BC+BC<AB+AC+BC$, tức là $2BC<18$ nên $BC<9$.

Từ đây suy ra $6<BC<9$ và $BC$ là một số tự nhiên chẵn nên $BC=8\mathrm{cm}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$, ta có: $O$ là trung điểm của $AC$, $M$ là trung điểm của $BC$.

Do đó, $BO,AM$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

Mà $BO$ cắt $AM$ tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Xét $\Delta ADC$, ta có: $O$ là trung điểm của $AC$, $N$ là trung điểm của $DC$.

Do đó, $DO,AN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ADC$.

Mà $DO$ cắt $AN$ tại $K$ nên $K$ là trọng tâm của $\Delta ADC$.

b) Xét $\Delta ABC$ có $I$ là trọng tâm nên $IO=\frac{1}{3}BO$.

Xét $\Delta ADC$ có $K$ là trọng tâm nên $KO=\frac{1}{3}DO$.

Mà $O$ là trung điểm của $BD$ nên $BO=DO$.

Do đó, ta có: $IO+KO=\frac{1}{3}BO+\frac{1}{3}DO=\frac{2}{3}BO$ hay $IK=\frac{2}{3}BO$.

Do đó, $BI=IK=KD=\frac{2}{3}BO=\frac{2}{3}DO.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $a\left(y+z\right)=b\left(z+x\right)=c\left(x+y\right)$ (1)

Vì $a,b,c\ne 0$ nên chia các vế của (1) cho $abc$ ta được: $\frac{a\left(y+z\right)}{abc}=\frac{b\left(z+x\right)}{abc}=\frac{c\left(x+y\right)}{abc}$.

Suy ra $\frac{y+z}{bc}=\frac{z+x}{ac}=\frac{x+y}{ab}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{z+x}{ac}=\frac{x+y}{ab}=\frac{\left(x+y\right)-\left(z+x\right)}{ab-ac}=\frac{y-z}{a\left(b-c\right)}$;

$\frac{y+z}{bc}=\frac{z+x}{ac}=\frac{\left(x+z\right)-\left(y+z\right)}{ac-bc}=\frac{x-y}{c\left(a-b\right)}$;

$\frac{y+z}{bc}=\frac{x+y}{ab}=\frac{\left(x+z\right)-\left(y+z\right)}{ac-bc}=\frac{x-y}{c\left(a-b\right)}$.

Do đó $\frac{y-z}{a\left(b-c\right)}=\frac{z-x}{b\left(c-a\right)}=\frac{x-y}{c\left(a-b\right)}$ (đpcm).