Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều – Đề 1 (có đáp án)

a) Bảng thống kê biểu diễn tốc độ tăng GDP 9 tháng của Việt Nam so với cùng kì năm trước trong giai đoạn 2015 – 2022 như sau:

b) Quan sát biểu đồ ta thấy tốc độ tăng GDP 9 tháng của Việt Nam so với cùng kì năm trước thấp nhất vào hai năm 2020 (với $$2,19\%$$) và 2021 (với $$1,57\%).$$

Giải thích: Năm 2020 và năm 2021 bị ảnh hưởng bởi đại dịch COVID-19.

c) Tập hợp các kết quả xảy ra đối với năm được chọn là:

$A=\left\{2015;2016;...;2021;2022\right\}$. Tập hợp $A$ có 8 phần tử.

Trong 8 năm (từ năm 2015 đến năm 2022) có 3 năm mà tốc độ tăng GDP 9 tháng của Việt Nam so với cùng kì năm trước cao hơn $7\%$, đó là: năm 2018, năm 2019 và năm 2022 (lấy từ tập hợp $A$).

Xác suất để tốc độ tăng GDP 9 tháng của Việt Nam so với cùng kì năm trước cao hơn $7\%$ là $\frac{3}{8}$.

a) $A\left(x\right)=-\frac{5}{3}{x}^2+\frac{3}{4}{x}^4+2x-\frac{7}{3}{x}^2-3+4x+\frac{1}{4}{x}^4$

$=\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)x^4+\left(-\frac{5}{3}-\frac{7}{3}\right)x^2+\left(2+4\right)x-3$

$=x^4-4x^2+6x-3$.

b) Đa thức $A\left(x\right)$ có bậc 4 và hệ số cao nhất là 1.

c) $B\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x^2-2\right)$

$=x^4-2x^2-x^2+2$

$=x^4-3x^2+2$.

Ta có $A\left(x\right)+C\left(x\right)=B\left(x\right)$

Suy ra $C\left(x\right)=B\left(x\right)-A\left(x\right)$

$=x^4-3x^2+2-\left(x^4-4x^2+6x-3\right)$

$=x^4-3x^2+2-x^4+4x^2-6x+3$

$=x^2-6x+5$.

d) Ta có:

• $B\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-3.{\left(-1\right)}^2+2=1-3+2=0$.

Do đó $x=-1$ là nghiệm của đa thức $B\left(x\right)$.

• $C\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2-6.\left(-1\right)+5=1+6+5=12$.

Do đó $x=-1$ không là nghiệm của đa thức $C\left(x\right)$.

a) Xét $\Delta ANO$ và $\Delta BNF$ có:

$\widehat{ANO}=\widehat{BNF}=90^{\circ }$;

$NA=NB$ (do $N$ là trung điểm của $AB$);

$NO=NF$ (giả thiết).

Do đó $\Delta ANO=\Delta BNF$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $$AO=BF$$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{NAO}=\widehat{NBF}$ (hai góc tương ứng).

Lại có hai góc $\widehat{NAO}$ và $\widehat{NBF}$ ở vị trí so le trong nên $$AO//BF$$.

b) Chứng minh tương tự câu a, ta có $\Delta APO=\Delta CPE$ (hai cạnh góc vuông).

Do đó $AO=CE$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $$AO=BF$$ (câu a) nên $BF=CE=AO$.

Tương tự, ta cũng chứng minh được:

• $AE=BD=CO$;

• $AF=CD=BO$.

Mặt khác, $O$ là giao điểm ba đường trung trực của $\Delta ABC$ nên $O$ cách đều ba đỉnh của tam giác, hay $OA=OB=OC$.

Do đó $$AF=FB=BD=DC=CE=EA=OA=OB=OC$$ nên hình lục giác $$AFBDCE$$ có 6 cạnh bằng nhau.

c) Ta có $\Delta APO=\Delta CPE$ (câu b) nên $\widehat{PAO}=\widehat{PCE}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AO//CE$.

Lại có $AO//BF$ (câu a) nên $BF//CE$.

Suy ra $\widehat{BFC}=\widehat{ECF}$ (hai góc so le trong).

Xét $$\Delta BCF$$ và $\Delta EFC$ có:

$BF=EC$ (câu b);

$\widehat{BFC}=\widehat{ECF}$ (chứng minh trên);

$FC$ là cạnh chung.

Do đó $$\Delta BCF=\Delta EFC\left(\mathrm{c}.g.c\right)$$

Suy ra $BC=EF$ (hai cạnh tương ứng).

Tương tự ta cũng chứng minh được $AB=DE$ và $AC=DF$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:

$AB=DE;AC=DF;BC=EF$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta ABC=\Delta DEF\left(\mathrm{c}.c.c\right)$.

Cách 1:

• $A\left(x\right)$ chia cho đa thức $x+1$ thì dư 7 nên ta có:

$A\left(x\right)=\left(x+1\right).Q\left(x\right)+7$, trong đó $Q\left(x\right)$ là thương của phép chia $A\left(x\right)$ chia cho $x+1$.

Khi đó ta có $A\left(-1\right)=\left(-1+1\right).Q\left(-1\right)+7$ hay $A\left(-1\right)=7$.

Do đó $${\left(-1\right)}^3+a.\left(-1\right)+b=7$$, suy ra $-a+b=8\left(1\right)$

• Tương tự, $A\left(x\right)$ chia cho đa thức $x-3$ thì dư $-5$ nên ta có: $A\left(3\right)=-5$

Do đó $3^3+a.3+b=-5$, suy ra $3a+b=-32\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ ta có $b=a+8$ thay vào $\left(2\right)$ ta được: $3a+\left(a+8\right)=-32$

Suy ra $4a=-40$, nên $a=-10$.

Khi đó $b=-10+8=-2$.

Vậy $a=-10$, $b=-2$.

Cách 2: Thực hiện đặt tính chia đa thức:

• Thực hiện đặt tính chia đa thức $A\left(x\right)$ cho $x+1$ như sau:

Để $A\left(x\right)$ chia cho đa thức $x+1$ dư 7 thì $b-a-1=7$, hay $-a+b=8\left(1\right)$

• Thực hiện đặt tính chia đa thức $A\left(x\right)$ chia cho $x-3$ ta cũng được: $3a+b=-32\left(2\right)$

Giải tương tự như Cách 1 ta có $a=-10$, $b=-2$.

Vậy $a=-10$, $b=-2$.