Đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) $\frac{16}{x}=\frac{x}{25}$ nên $x^2=16.25$ hay $x^2=400$.

Do đó, $x^2=20^2$ hoặc $x^2={\left(-20\right)}^2$.

Suy ra, $x=20$ hoặc $x=-20$.

Vậy giá trị cần tìm là $\left\{20;-20\right\}$.

b) $\frac{x}{5}=\frac{y}{7}$ và $x+y=36;$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{x+y}{5+7}=\frac{36}{12}=3$.

Suy ra $x=5.3=15$ và $y=7.3=21$.

Vậy $x=15$ và $y=21$.

c) $x:y:z=3:4:5$ và $x+y-z=144$

Ta có $x:y:z=3:4:5$ hay $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{x+y-z}{3+4-5}=\frac{144}{2}=72$.

Do đó, $x=3.72=216;y=4.72=288;z=5.72=360$.

Vậy $x=216,y=288,z=360.$

Hướng dẫn giải

2.1. Đổi 30 phút = $5$ giờ.

Giả sử Lan đi với vận tốc $10km/h$ thì hết $t$ giờ.

Ta có vận tốc và thời gian Lan đi từ nhà đến trường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có $12.0,5=10t.$

Suy ra $t=\frac{12.0,5}{10}=0,6$ giờ.

Ta có $0,6$ giờ = $36$ phút.

Vậy nếu Lan đi với vận tốc $10km/h$ thì hết 36 phút.

2.2. Gọi $x,y,z$ (đồng) theo thứ tự là số tiền điện phải trả của mỗi hộ $\left(x,y,z>0\right)$.

Theo đề bài, số điện năng tiêu thụ của ba hộ sử dụng tỉ lệ với $5;7;8$ nên ta có: $\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{8}$.

Tổng số tiền điện phải trả của ba hộ sử dụng điện trong một tháng là $820$ nghìn đồng nên $x+y+z=820$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{8}=\frac{x+y+z}{5+7+8}=\frac{820}{20}=41$.

Suy ra $x=5.41=205;y=7.41=287;z=8.41=328$ (thỏa mãn)

Vậy số điện ba hộ phải trả là 205 nghìn đồng, 287 nghìn đồng, 328 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

3.1.

a) Ta có: $A\left(x\right)=3x^2-4x^4-5x+9+6x^4+2x^3-5$

$A\left(x\right)=\left(-4x^4+6x^4\right)+2x^3+3x^2-5x+9-5$

$A\left(x\right)=2x^4+2x^3+3x^2-5x+4$.

b) Đa thức $A\left(x\right)$ có hệ số cao nhất là $2$, hệ số tự do là $5$ và bậc là $4$.

c) Ta có: $A\left(-1\right)=2.{\left(-1\right)}^4+2.{\left(-1\right)}^3+3.{\left(-1\right)}^2-5.\left(-1\right)+4=12$.

$A\left(0\right)=2.0^4+2.0^3+3.0^2-5.0+4=4$.

$A\left(2\right)=2.2^4+2.2^3+3.2^2-5.2+4=54$.

d) Ta có: $B\left(x\right)-3x^2+2x^4-x^3=A\left(x\right)$

Suy ra $B\left(x\right)=A\left(x\right)+3x^2-2x^4+x^3$ hay $B\left(x\right)=2x^4+2x^3+3x^2-5x+4+3x^2-2x^4+x^3$

Suy ra $B\left(x\right)=\left(2x^4-2x^4\right)+\left(2x^3+x^3\right)+\left(3x^2+3x^2\right)-5x+4$

$B\left(x\right)=3x^3+6x^2-5x+4$.

3.2. Ta có: $13=12+1=x+1$.

Do đó, ta có: $R\left(x\right)=x^{10}-\left(x+1\right)x^9+\left(x+1\right)x^8-\left(x+1\right)x^7+...+\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)x+10$

Suy ra $R\left(x\right)=x^{10}-x^{10}-x^9+x^9+x^8-x^8-x^7+...+x^3+x^2-x^2-x+10$

$R\left(x\right)=-x+10=-12+10=-2$.

Hướng dẫn giải

4.1.

Xét

$\Delta ABD$ và $\Delta AED$, có:

$\hat{B}=\hat{E}=90^{\circ }$(gt)

$AD$: chung (gt)

$\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)

Do đó, $\Delta ABD=\Delta AED$ (g.c.g)

Suy ra $BD=ED$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $BD=2\mathrm{cm}$ nên $ED=2\mathrm{cm}.$

Vậy khoảng cách từ $D$ đến đường thẳng $AC$ là $2\mathrm{cm}.$

4.2.

Vì tam giác cân nên sẽ có các trường hợp về độ dài ba cạnh như sau.

TH1. $4\mathrm{cm},4cm,8cm$. Xét thấy $4\mathrm{cm}+4cm=8cm$ nên không thể xảy ra trường hợp này.

TH2. $4\mathrm{cm},8cm,8cm$. Nhận thấy $4\mathrm{cm}+8cm>8cm$ nên thỏa mãn điều kiện về ba cạnh của tam giác.

Do đó, chu vi của tam giác là $4+8+8=20\left(\mathrm{cm}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AE$.

Ta có: $BP=PQ=QE$ và $BD=DE$.

Mà $BD=BP+PD;DE=QE+DQ$.

Suy ra $PD=DQ$.

Hay $D$ là trung điểm của $PQ$.

Ta có: $PD=\frac{1}{2}PQ$ hay $PD=\frac{1}{2}BP$. Suy ra $PD=\frac{1}{3}BD$

Lại có $BD$ là trung tuyến của $\Delta ABC$.

Suy ra $P$là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Do đó, $CP$ cắt $AB$ tại trung điểm $M.$

Tương tự ta có: $QD=\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}QE$ hay $QD=\frac{1}{3}ED$.

Do đó, $Q$ là trọng tâm của tam giác $AEC$.

Suy ra $CQ$ cắt $AE$ tại trung điểm $N$.

b) Xét $\Delta ADP$ và $\Delta CDQ$ có:

$AD=DC$ (gt)

$\widehat{ADP}=\widehat{CDQ}$ (đối đỉnh)

$PD=DQ$ (cmt)

Suy ra $\Delta ADP=\Delta CDQ$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{DAP}=\widehat{DCQ}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $CQ\parallel AP.$

Xét $\Delta ADQ$ và $\Delta CDP$ có:

$AD=DC$ (gt)

$\widehat{ADQ}=\widehat{CDP}$ (đối đỉnh)

$PD=DQ$ (cmt)

Suy ra $\Delta ADQ=\Delta CDP$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{DAQ}=\widehat{DCP}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $CP\parallel AQ$.

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1. $a,b,c\ne 0$ và $a+b+c=0$ hay $a+b=-c;a+c=-b;b+c=-a$.

Thay vào biểu thức $S=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}$, ta được: $S=\frac{-a.\left(-b\right).\left(-c\right)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1.$

Trường hợp 2. $a,b,c\ne 0$ và $a+b+c\ne 0$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a+b-c}{c}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{a+b-c+c+a-b+b+c-a}{c+b+a}$$=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$.

Suy ra $a+b-c=a;a+c-b=b;b+c-a=a$.

Do đó, $a+b=2c;c+a=2b;b+c=2a$.

Thay $a+b=2c;c+a=2b;b+c=2a$ vào biểu thức $S$, ta được:

$S=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{2a.2b.2c}{abc}=8$.

Vậy $S=-1$ khi $\frac{a+b-c}{c}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{b+c-a}{a}$, $a,b,c\ne 0$ và $a+b+c=0$.

Và $S=8$ khi $\frac{a+b-c}{c}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{b+c-a}{a}$, $a,b,c\ne 0$ và $a+b+c\ne 0$.