Đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x}{3}=\frac{2,5}{1,5}$ suy ra $1,5x=2,5.3$, do đó $x=\frac{2,5.3}{1,5}=5$.

Vậy $x=5$.

b) $\frac{x}{15}=\frac{y}{7}$ và $y-x=16$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{15}=\frac{y}{7}=\frac{y-x}{7-15}=\frac{16}{-8}=-2$.

Suy ra $x=15.\left(-2\right)=-30$ và $y=7.\left(-2\right)=-14$.

Vậy $x=-30$ và $y=-14$.

c) $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$ và $x-2y+3z=38.$

Ta có $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$ hay $\frac{x}{2}=\frac{2y}{6}=\frac{3z}{15}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{2y}{6}=\frac{3z}{15}=\frac{x-2y+3z}{2+6+15}=\frac{38}{23}$.

Suy ra $x=\frac{76}{23};y=\frac{119}{23};z=\frac{190}{23}$.

Hướng dẫn giải

2.1. Gọi thời gian để hoàn thành công việc của $40$ công nhân là $t$ giờ $\left(t>0\right)$.

Vì khối lượng công việc là không dổi nên số công nhân và thời gian để hoàn thành công việc đó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: $30.8=40t$ suy ra $t=\frac{30.8}{40}=6$.

Vậy thời gian để hoàn thành công việc của 40 công nhân là 6 giờ.

2.2. Gọi số viên kẹo tương ứng của An, Bình, Cầm lần lượt là $a;b;c$ (viên kẹo) $\left(a;b;c\in \mathbb{N}\right)$.

Vì số kẹo của An, Bình, Cầm tương ứng tỉ lệ với $2;3;4$ nên ta có: $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}.$

Mặt khác, Cầm nhiều hơn An $8$ viên kẹo nên ta có $c-a=8$ (viên)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{c-a}{4-2}=\frac{8}{2}=4$.

Do đó, $\frac{a}{2}=4$, suy ra $a=2.4=8$.

$\frac{b}{3}=4$, suy ra $b=3.4=12$.

$\frac{c}{4}=4$, suy ra $c=4.4=16$.

Vậy số kẹo của An, Bình, Cầm lần lượt là $8;12$ và $16$ viên.

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: $P\left(x\right)=7x^3+3x^4-x^2-4x^4+5x^2-6x^3-2x^4+2017-x^3$

$P\left(x\right)=\left(3x^4-4x^4-2x^4\right)+\left(7x^3-x^3-6x^3\right)+\left(-x^2+5x^2\right)+2017$

$P\left(x\right)=-3x^4+4x^2+2017$.

b) Hệ số cao nhất của đa thức là $-3$, hệ số tự do là $2017$ và bậc của đa thức là $4.$

c) Ta có: $P\left(-1\right)=-3.{\left(-1\right)}^4+4.{\left(-1\right)}^2+2017=-3+4+2017=2018$.

$P\left(1\right)=-3.1^4+4.1^2+2017=-3+4+2017=2018$;

$P\left(0\right)=-3.0^4+4.0^2+2017=2017$.

d) Ta có: $Q\left(x\right)-3x^4+2x^2+17=P\left(x\right)$ nên $Q\left(x\right)=P\left(x\right)+3x^4-2x^2-17$

Suy ra $Q\left(x\right)=-3x^4+4x^2+2017+3x^4-2x^2-17$

Do đó, $Q\left(x\right)=2x^2+2000$.

3.2. Ta có: $Q\left(x\right)=x^{14}-10x^{13}+10x^{12}-10x^{11}+...+10x^2-10x+10$

Nhận thấy $10=9+1=x+1.$

Do đó, $Q\left(x\right)=x^{14}-\left(x+1\right)x^{13}+\left(x+1\right)x^{12}-\left(x+1\right)x^{11}+...+\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)x+\left(x+1\right)$

$Q\left(x\right)=x^{14}-x^{14}-x^{13}+x^{13}+x^{12}-x^{12}-x^{11}+...+x^3+x^2-x^2-x+x+1$

$Q\left(x\right)=1$.

Vậy $Q\left(x\right)=1$.

Hướng dẫn giải

Vì $AD$ cắt $BF$ tại $N$ nên $FN=BN=\frac{1}{2}BF$ (1).

Chứng minh tương tự, ta được: $AM=MC=\frac{1}{2}AC$ (2)

Vì $OA$ là đường tủng tuyến của tam giác $ABC$ nên $O$ là trung điểm của $BC$ hay $OB=OC$.

Xét $\Delta OFB$ và $\Delta OAC$ có:

$OF=OA$ (gt)

$\widehat{FOB}=\widehat{AOC}$ (hai góc đối đỉnh)

$OB=OC$ (cmt)

Do đó, $\Delta OFB=\Delta OAC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{OFB}=\widehat{OAC}$ (hai góc tương ứng) và $BF=AC$ (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AM=FN$.

Xét $\Delta AOM$ và $\Delta FON$ có:

$AM=FN$ (cmt)

$\widehat{OFN}=\widehat{OAM}$ (cmt)

$OF=OA$ (gt)

Do đó, $\Delta AOM=\Delta FON$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AOM}=\widehat{FON}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AOM}+\widehat{FOM}=180^{\circ }$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{FON}+\widehat{FOM}=180^{\circ }$.

Do đó, $M,O,N$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$ suy ra $c^2=ab$ (1)

Đặt $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=k$ suy ra $a=ck;c=bk$. Do đó, $\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{{\left(ck\right)}^2+c^2}{b^2+{\left(bk\right)}^2}=\frac{c^2\left(k^2+1\right)}{b^2\left(k^2+1\right)}=\frac{c^2}{b^2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{c^2}{b^2}=\frac{ab}{b^2}=\frac{a}{b}.$

Suy ra $\frac{b^2+c^2}{a^2+c^2}=\frac{b}{a}$, suy ra $\frac{b^2+c^2}{a^2+c^2}-1=\frac{b}{a}-1$ hay $\frac{b^2+c^2-c^2-a^2}{a^2+c^2}=\frac{b-a}{a}$.

Do đó, $\frac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\frac{b-a}{a}$ (đpcm).