Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

6 câu · Đề cuối kì 2

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

1.1. Tìm $x,$ biết:

a) $\frac{2}{- x} = \frac{4}{7}$ ; b) $\frac{0 , 25}{x + 2} = \frac{x + 2}{4}$ (với $x \neq = - 2$ ).

1.2. Hai thanh kim loại đồng chất có thể tích lần lượt là $5 c m^{3}$ và $7 c m^{3}$ . Tính khối lượng của mỗi thanh kim loại, biết rằng thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất $15, 6 g$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1.1.

a) $\frac{2}{- x} = \frac{4}{7}$

$- 4 x = 2.7$

$- 4 x = 14$

$x = \frac{- 14}{4}$ hay $x = \frac{- 7}{2}$ .

Vậy $x = \frac{- 7}{2}$ .

b) $\frac{0 , 25}{x + 2} = \frac{x + 2}{4}$ (với $x \neq = - 2$ )

$(x + 2)^{2} = 0, 25.4$

$(x + 2)^{2} = 1$

$x + 2 = 1$ hoặc $x + 2 = - 1$

Suy ra $x = - 1$ hoặc $x = - 3$ .

Vậy giá trị của $x$ thỏa mãn là ${- 1; 3} .$

1.2. Gọi $x, y (g)$ lần lượt là khối lượng của thanh kim loại thứ nhất và thanh kim loại thứ hai.

Thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất $15, 6 g$ nên $y - x = 15, 6$ .

Vì hai thanh kim loại đồng chất nên khối lượng và thể tích của mỗi thanh kim loại là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó, ta có $\frac{x}{5} = \frac{y}{7}$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{y - x}{7 - 5} = \frac{15 , 6}{2} = 7, 8$ .

Suy ra $x = 7.8.5 = 39$ ; $y = 7, 8.7 = 54, 6$ .

Vậy khối lượng của thanh kim loại thứ nhất và thanh kim loại thứ hai lần lượt là $39 g$ và $54, 6 g$ .

Câu 2

Câu tự luận

2.1. Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{x + y ^{2}}{5} + x y$ tại $x = 1, y = 3$ .

2.2. Cho hai đa thức: $M (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} - x + 7 x^{3} - 5 x + 1$ ;

$N (x) = - 2 x^{3} + x^{2} + 3 x^{4} + 5 x - 2 x^{4} - 6 + x$ .

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Xác định bậc và hệ số cao nhất của hai đa thức $N (x)$ .

c) Tìm đa thức $Q (x)$ sao cho $Q (x) = M (x) + N (x)$ . Tìm $x$ để $Q (x) = 3 x^{4} + 2 x^{3} + 4$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

2.1. Thay $x = 1, y = 3$ vào biểu thức $A = \frac{x + y ^{2}}{5} + x y$ , ta được: $A = \frac{1 + 3 ^{2}}{5} + 1.3 = 5$ .

Vậy giá trị của biểu thức $A = 5$ khi $x = 1, y = 3$ .

2.2. a) $M (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} - x + 7 x^{3} - 5 x + 1$

$= 2 x^{4} + (- 3 x^{3} + 7 x^{3}) + (- x - 5 x) + 1$

$= 2 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x + 1$ .

$N (x) = - 2 x^{3} + x^{2} + 3 x^{4} + 5 x - 2 x^{4} - 6 + x$

$= (3 x^{4} - 2 x^{4}) - 2 x^{3} + x^{2} + (5 x + x) - 6$

$= x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 6 x - 6$

b) Đa thức $N (x)$ có bậc là 4, hệ số cao nhất là 1.

c) Ta có $Q (x) = M (x) + N (x)$

$Q (x) = (2 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x + 1) + (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 6 x - 6)$

$= 2 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x + 1 + x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 6 x - 6$

$= 3 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} - 5$ .

Ta có $Q (x) = 3 x^{4} + 2 x^{3} + 4$

Suy ra $3 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} - 5 = 3 x^{4} + 2 x^{3} + 4$

$x^{2} = 9$

$x = 3$ hoặc $x = - 3$ .

Vậy $x \in {- 3; 3}$ thì $Q (x) = 3 x^{4} + 2 x^{3} + 4$ .

Câu 3

Câu tự luận

Một hộp có $28$ chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số $1, 2, 3,$ $4, 5, ...., 27, 28$ . Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp.

a) Viết tập hợp $A$ gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra.

b) Tính xác suất của biến cố $B$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho $5$ ”.

c) Tính xác suất của biến cố $C$ : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số và khi chia

2 hay chia 5 đều dư 1”.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra là:

$A = {1; 2; 3; 4; .....,; 27; 28}$ .

Vậy có $28$ phần tử

b) Kết quả thuận lợi của biến cố $B$ là: $5; 10; 15; 20; 25$ .

Do đó, có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Xác suất của biến cố trên là $\frac{5}{28} .$

c) Kết quả thuận lợi cho biến cố $C$ là: $11; 21$ .

Do đó, có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Xác suất của biến cố $C$ là $\frac{2}{28} = \frac{1}{14} .$

Câu 4

Câu tự luận

Một bể nước có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $2, 5 m$ . Lúc đầu bể không có nước. Sau khi đổ vào bể $150$ thùng nước, mỗi thùng chứa $15$ lít nước thì mực nước của bể dâng cao $0, 5 m .$

a) Tính chiều rộng của bể nước.

b) Người ta đổ thêm $120$ thùng nước nữa thì đầy bể. Hỏi bể nước cao bao nhiêu mét?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Thể tích nước trong thùng khi đổ $150$ thùng nước vào bể là: $150.15 = 2250$ (lít)

Đổi $2250 l = 2250 d m^{3} = 2, 25 m^{3}$

Chiều rộng của bể nước là $2, 25 : (2, 5.0, 5) = 1, 8 (m)$ .

b) Khi đổ thêm 120 thùng nữa thì đầy bể, tức là khi đổ tất cả $270$ thùng thì đầy bể.

Do đó, thể tích của bể nước là: $270.15 = 4050$ (lít) = $4, 05 m^{3}$ .

Chiều cao của bể nước là $4, 05 : (2, 5.1, 8) = 0, 9 (m)$ .

Vậy chiều cao của bể nước là $0, 9 m$ .

Câu 5

Câu tự luận

Cho tam giác nhọn $A B C$ $(A B < A C)$ có đường cao $A H$ .

a) Chứng minh $B A H < H A C$ .

b) Trên đoạn thẳng $H C$ lấy điểm $D$ sao cho $H D = H B$ . Chứng minh tam giác $A B D$ là tam giác cân.

c) Từ $D$ kẻ $D E ⊥ A C$ , từ $C$ kẻ $C F ⊥ A D$ . Chứng minh ba đường thẳng $A H, D E, C F$ đồng quy.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

A B C

(A B < A C)

có đường cao

A H

. a) Chứng minh

B A H < H A C

. b) Trên đoạn thẳng

H C

lấy điểm

D

sao cho

H D = H B

. Chứng minh tam giác

A B D

là tam giác cân. c) Từ

D

kẻ

D E ⊥ A C

, từ

C

kẻ

C F ⊥ A D

. Chứng minh ba đường thẳng

A H, D E, C F

đồng quy. (ảnh 1)">

a) Xét $Δ A B C$ có $A B < A C$ nên $C < B$ .

Mà $C = 9 0^{\circ} - H A C$ và $B = 9 0^{\circ} - B A H$ .

Do đó $9 0^{\circ} - H A C < 9 0^{\circ} - B A H$ hay $H A C > B A H$ .

b) Xét $Δ A B H$ và $Δ A D H$ có:

$A H B = A H D = 9 0^{\circ}$ ;

$A H$ là cạnh chung;

$H B = H D$ (giả thiết).

Do đó $Δ A B H = Δ A D H$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $A B = A D$ (hai cạnh tương ứng).

Tam giác $A B D$ có $A B = A D$ nên là tam giác cân tại $A$ .

c) Kéo dài $A H$ và $C F$ cắt nhau tại $K$ .

Xét $Δ A K C$ có $C H ⊥ A K, A F ⊥ C K$ , $C H$ cắt $A F$ tại $D$ nên $D$ là trực tâm của $Δ A K C$ .

Suy ra $K D ⊥ A C$

Mà $D E ⊥ A C$ nên ba điểm $K, D, E$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $A H, D E, C F$ đồng quy.

Câu 6

Câu tự luận

Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm để ủng hộ. Lúc đầu, số gói tăm dự định chia cho ba lớp lần lượt tỉ lệ với $5; 6; 7$ nhưng sau có sự thay đổi nên đã chia theo tỉ lệ $4; 5; 6$ và do đó có một lớp nhận được nhiều hơn dự định $4$ gói tăm. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua là $x$ $(x \in N^{*})$ .

Gọi số gói tăm dự định chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là $a, b, c$ , ta có:

$\frac{a}{5} = \frac{b}{6} = \frac{c}{7} = \frac{a + b + c}{18} = \frac{x}{18}$ .

Do đó, $a = \frac{5 x}{18}; b = \frac{6 x}{18}; c = \frac{7 x}{18}$ (1)

Gọi số tăm sau khi thay đổi chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $a^{'}, b^{'}, c^{'}$ , ta có:

$\frac{a ^{'}}{4} = \frac{b ^{'}}{5} = \frac{c ^{'}}{6} = \frac{a ^{'} + b ^{'} + c ^{'}}{15} = \frac{x}{15}$

Do đó, ta có: $a^{'} = \frac{4 x}{15}; b^{'} = \frac{5 x}{15}; c^{'} = \frac{6 x}{15}$ (2)

So sánh (1) và (2) ta nhận thấy $a > a^{'}; b = b^{'}; c < c^{'}$ , do đó lớp 7C nhận nhiều hơn so với ban đầu.

Ta có: $c^{'} - c = 4$ hay $\frac{6 x}{15} - \frac{7 x}{18} = 4$ hay $\frac{x}{90} = 4$ nên $x = 360$ (thỏa mãn)

Vậy số gói tăm của ba lớp đã mua là $360$ gói.